Matematické Fórum

chuckier · 31. 12. 2014 21:04

Ahoj, nevím si rady s jedním příkladem z pravěpodobnosti.

Zadání:
Náhodně táhneme s navrácením dvě čísla X1 a X2 z množiny {1, 2, . . . , n}. V rovině vytvoříme
trojúhelník jehož vrcholy jsou body (0, 0), (X1, 0) a (X1,X2). Jaký je pruměrný obsah trojúhelníku?

Výsledek má být $\frac{1}{2}(\frac{n+1}{2})^2$

Poprosil bych alespoň o náznak řešení. Nejsem si jistý jestli to řešit přes distribuční funkci (z tý my to vychází jinak) nebo přes pravděpodobnostní funkci.

Díky za pomoc.

holyduke · 01. 01. 2015 14:28

Ahoj,
asi to není postup jaký by sis představoval, ale jde to vyřešit i selským rozumem:

Průměr aritmetické řady je její prostřední člen (např. čísla 1,2,3=>průměr 2) a dá se vypočítat jako
$\frac{a_{1}+a_{n}}{2}$ . To znamená, že nám bude stačit vypočítat hodnotu prostředního trojúhelníka.
Ten bude mít stranu i výšku o délce $a$ , kterou vypočítáme průměrem řady 1,2,3,4,5,...n, tedy $a=\frac{1+n}{2}$
No a obsah se vypočítá jako $S=\frac{a\cdot a}{2}$ a tím dostáváme výsledek $\frac{1}{2}(\frac{n+1}{2})^2$

chuckier · 01. 01. 2015 17:00

↑ holyduke:

Díky moc. Na takto jednoduchej postup bych asi nepřišel =).
Každopádně jsem se nakonec dopracoval i k jinému postupu. Jelikož jsou x1 a x2 nezávislé, stačí napsat
$E(X)=\frac{1}{2}E(X1)E(X2)$
a určení průměrných hodnot je už jednoduché. Víceméně je to podobné jako tvoje řešení.

Ještě jednou díky a přeji hezký nový rok.

Matematické Fórum

#1 31. 12. 2014 21:04

Průměrný obsah trojúhelníku

#2 01. 01. 2015 14:28

Re: Průměrný obsah trojúhelníku

#3 01. 01. 2015 17:00

Re: Průměrný obsah trojúhelníku

Zápatí