Matematické Fórum

pavelbr · 01. 01. 2015 18:11

Neví někdo, jak převést lineární diferenciální rovnici $x´´+2x´+3x=e^{t}$ na soustavu lineárních diferencíálních rovnic 1. řádu?

pavelbr · 01. 01. 2015 18:19

Omlouvám se, rovnice zní takto x´´+2x´+3x=e^t

Sergejevicz

To se dělá šikovnou substitucí. Funguje to tedy pro přinejmenším lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty.

Obecně máš rovnici n-tého řádu $a_nx^{(n)}+a_{n-1}x^{(n-1)}+\ldots+a_2x''+a_1x'+a_0x=f(t)$ , kde $a_n,a_{n-1},\ldots,a_2,a_1,a_0$ jsou koeficienty, přičemž $a_n\neq 0$ , $f(t)$ je pravá strana, $x=x(t)$ je neznámá funkce a $x', x'',\ldots,x^{(n-1)},x^{(n)}$ je její první, druhá,...,n-1-ní a n-tá derivace.

Uděláš substituci n funkcemi $y_1=y_1(t),\ldots,y_n=y_n(t)$ následovně:
$y_1=x\\y_2=x'\\\vdots\\y_{n-1}=x^{(n-2)}\\y_n=x^{(n-1)}$ .

Zderiuješ ji, dostaneš
$y_1'=x'\\y_2'=x''\\\vdots\\y_{n-1}'=x^{(n-1)}\\y_n'=x^{(n)}$

a dosadíš z té substituce do prvních n-1 rovnic, takže dostaneš
$y_1'=y_2\\y_2'=y_3\\\vdots\\y_{n-1}'=y_n\\y_n'=x^{(n)}$ .

Poslední věcí je vyloučit n-tou derivaci neznámé funkce v poslední rovnici. To uděláš vyjádřením $x^{(n)}$ ze zadané rovnice,

$x^{(n)}=\frac{1}{a_n}(f(t)-a_{n-1}x^{(n-1)}-\ldots-a_2x''-a_1x'-a_0x)$

a dosazením ze zavedené substituce za všechny derivace řádu nižšího než n,

$x^{(n)}=\frac{1}{a_n}(f(t)-a_{n-1}y_{n}-\ldots-a_2y_3-a_1y_2-a_0y_1)$ .

Toto dosazeno do poslední rovnice dává celou soustavu prvního řádu pro n neznámých funkcí $y_1,\ldots,y_n$

$y_1'=y_2\\y_2'=y_3\\\vdots\\y_{n-1}'=y_n\\y_n'=\frac{1}{a_n}(f(t)-a_{n-1}y_{n}-\ldots-a_2y_3-a_1y_2-a_0y_1)$ .

Toto použij na tvůj příklad. Nebude-li něco jasné, napiš.

pavelbr · 01. 01. 2015 19:57

Nemůžeš mi to ukázat na tomto konkrétním příkladu? Z tohohle nejsem moc moudrý :)

Sergejevicz

Tak koukni. Ukážu ti, jak se ten obecný postup použije v tvém konkrétním případě. Tvá rovnice je $x''+2x'+3x=e^t$ . Takže nejvyšší derivace je druhá, tedy n = 2. Tolik také bude rovnic v soustavě.

Koeficienty v tvé rovnici jsou:
$a_2 = 1$ (to je u n-té, tedy druhé derivace), $a_1=3$ a $a_2=3$ .

Pravá strana v tvé rovnici je:
$f(t) = e^t$ .

Zavedeme substituci

$y_1=x\\y_2=x'$ .

Zderivujeme ji (každou rovnici zvlášť pochopitelně)

$y_1'=x'\\y_2'=x''$ .

Dosazeno do prvn9ch n-1 zderivovaných rovnic ze substituce, tj. vlastně jen do první rovnice, protože n-1 = 2-1 = 1, máme

** $y_1'=y_2\\y_2'=x''$ .

Ještě je třeba vyřešit druhou derivaci x v poslední, tj. n-té, tj. druhé rovnici. Vyjádříme ji z původně zadané rovnice. Je

$x''=e^t-2x'-3x$ .

Dosadíme do ní ze substituce za derivace řádu nejvýše n-1, tj. za nultou a první derivaci. Je

$x''=e^t-2y_2-3y_1$ .

Toto dosadíme do poslední (druhé) zderivované rovnice (soustava **) a tím dostaneme výslednou soustavu

** $y_1'=y_2\\y_2'=e^t-2y_2-3y_1$ .

Teď je to ukázané takhle rozvlekleji. Stačí pochopit odvození té soustavy a pak dosazovat rovnou do ní.

Sergejevicz

Je-li libo, tady je obecně soustava zapsaná maticově.

$\left( \begin{array}{c} y_1'\\ y_2'\\ \vdots\\ y_{n-1}'\\ y_n' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccccc} 0&1&0&\ldots&0&0\\ 0&0&1&\ldots&0&0\\ \vdots&&&\ddots&&\\ 0&0&0&\ldots&0&1\\ -\frac{a_0}{a_n}&-\frac{a_1}{a_n}&-\frac{a_2}{a_n}&\ldots&-\frac{a_{n-2}}{a_n}&-\frac{a_{n-1}}{a_n} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_{n-1}\\ y_n \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ \frac{f(t)}{a_n} \end{array} \right)$

Sergejevicz

Tvá soustava pak je

$\left( \begin{array}{c} y_1'\\ y_2' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 0&1\\ -3&-2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} y_1\\ y_2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0\\ e^t \end{array} \right)$ .

Matematické Fórum

#1 01. 01. 2015 18:11

převod LDR na soustavu

#2 01. 01. 2015 18:19

Re: převod LDR na soustavu

#3 01. 01. 2015 19:20 — Editoval Sergejevicz (01. 01. 2015 19:24)

Re: převod LDR na soustavu

#4 01. 01. 2015 19:57

Re: převod LDR na soustavu

#5 01. 01. 2015 21:59 — Editoval Sergejevicz (01. 01. 2015 22:00)

Re: převod LDR na soustavu

#6 01. 01. 2015 22:35 — Editoval Sergejevicz (01. 01. 2015 22:38)

Re: převod LDR na soustavu

#7 01. 01. 2015 22:44 — Editoval Sergejevicz (01. 01. 2015 22:45)

Re: převod LDR na soustavu

Zápatí