Matematické Fórum

ragulin

Ahoj, celé odpoledne tady ležím v tomhle problému. Pro úplnost napíšu celý postup až do místa, kde jsem se zasekl, a tři hodiny jsem zaseklý.
$\int_{}^{} \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{3x}+1} dx = \int_{}^{} \frac{dt}{t^3+1}=\frac{A}{t+1}+\frac{Bx+C}{t^2-t+1}$

Z tho vyplyne že: $A=\frac{1}{3}, , B=\frac{-1}{3} , C=\frac{2}{3}$

A dál integrace (rovnou integruju první člen, ten není otázkou problemu

$\frac{1}{3} ln |t+1|+\int_{}^{} \frac{\frac{-t}{3}+\frac{2}{3}}{t^2-t+1}$

našel jsem řešení například tady, ale moc nechápu ty čáry v algebře tam...Poradil by mi někdo, případně jednodušší způsob, nebo vysvětlil co tma s tim prováději? Děkuji:
http://calculus-geometry.hubpages.com/h … ide8776622

Jj · 03. 01. 2015 17:35

Dobrý den.

Řekl bych že 2. člen lze upravit na součet základních integrálů:

$=\frac{-1}{3}\int \frac{t - 2}{t^2-t+1}\,dt=-\frac{1}{3\cdot 2}\int \frac{2t - 4}{t^2-t+1}\,dt=-\frac{1}{3\cdot 2}\int \frac{2t - 1 - 3}{t^2-t+1}\,dt=$

$=-\frac{1}{3\cdot 2}\int \left(\frac{2t - 1}{t^2-t+1}+\frac{-3}{t^2-t+1}\right)\,dt=\cdots$

Účelem úprav v čitateli je možnost rozdělení integrandu na část tvaru $\int \frac{f'(t)}{f(t)}\,dt$ , kterou lze přímo integrovat,
a na "zbytek". U toho lze po vhodných úpravách (a příp. substituci) jako výsledek očekávat funkci arkustangens.

Uměl byste dále pokračovat?

ragulin

↑ Jj:

$\frac{-1}{6}\int_{}^{} \frac{du}{u} +\frac{3}{6} \int_{}^{} \frac{1}{t^2-t+1}dt$

A ted bych měl dát, že
$t^2-t=y^2$

A dopočítat už do konce podle vzorce pro integraci arctang, a pak vrátit všechny substituce, a hotovo, jestli teda nedělám špatně tu substituci v posledním kroku, děkuji mnohokrát...

Eratosthenes

↑ ragulin:

Na arctg to sice vede, ale obávám se, že tato substituce ti nepomůže. Jmenovatel je třeba upravit

$t^2-t+1=t^2-t+\frac 1 4 +\frac 3 4 =$t-\frac 1 2$^2 + \frac 3 4...$

ragulin

Mě se to pořád nezdá...takhle složitý příklad v testu na 90 minut spolu s dalšímy 5 ti příklady...nešlo by to nějak jednodušeji řešit? Třeba jsem začal už na začátku špatně...co třeba :
$\int_{}^{} \frac{e^x}{e^(3x)+1} = \int_{}^{} \frac{t^3}{t^3-1}dt-\int_{}^{} \frac{t^3-1}{t^3-1}dt$

Je to e^3x .... 3x je celé v exponentu, nejde mi to napsat nevím proč

Ale pak nevím, co zase s tím:
$\int_{}^{} \frac{t^3}{t^3-1}dt$

...per partes?

misaH · 04. 01. 2015 13:55

↑ ragulin:

Skús MAW, čo ti poradí... :-)

Jj · 04. 01. 2015 16:32

↑ ragulin:

Vždyt Vám kolega ↑ Eratosthenes: postup naznačil:

$\int \frac{1}{t^2-t+1}\,dt=\int \frac{1}{\frac 3 4+$t-\frac 1 2$^2}\,dt=\frac{4}{3}\int \frac{1}{1+$\frac{t-\frac 1 2}{\frac 3 4}$^2}\,dt=\cdots$

a substitucí za zlomek ve jmenovateli jste u tabulkového integrálu. To bych v integrálním počtu nebral jako něco zvlášt složitého.

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2015 17:02 — Editoval ragulin (03. 01. 2015 17:07)

Integrace e^x/[e^(3x)+1]

#2 03. 01. 2015 17:35

Re: Integrace e^x/[e^(3x)+1]

#3 03. 01. 2015 18:35 — Editoval ragulin (03. 01. 2015 18:39)

Re: Integrace e^x/[e^(3x)+1]

#4 03. 01. 2015 18:49 — Editoval Eratosthenes (03. 01. 2015 18:49)

Re: Integrace e^x/[e^(3x)+1]

#5 04. 01. 2015 13:27 — Editoval ragulin (04. 01. 2015 13:29)

Re: Integrace e^x/[e^(3x)+1]

#6 04. 01. 2015 13:55

Re: Integrace e^x/[e^(3x)+1]

#7 04. 01. 2015 14:43 Příspěvek uživatele ragulin byl skryt uživatelem ragulin. Důvod: kravina

#8 04. 01. 2015 16:32

Re: Integrace e^x/[e^(3x)+1]

Zápatí