Matematické Fórum

MatthewM

Dobrý den, mám problém s výpočty dvou příkladů, u kterých jsem si jistý postupem, ale stále nemohu dosáhnout kýženého výsledku.

a) $(2x+ \sqrt{x-1})(2x+ \sqrt{x-1}-8)-2(2x+ \sqrt{x-1})-24=0$

Udělal jsem substituci $t = (2x+ \sqrt{x-1})$
Následně mi vznikla : $t(t-8)-2t-24=0$
Kořeny: $t_{1} = 12 t_{2} = -2$
Poté jsem dosadil do substituce zmíněné dva kořeny, ale vyšli mi jiné závěrečné kořeny x

Výsledkem je: $5$

b) $\frac{x}{x+1} - 2\sqrt{\frac{x+1}{x}}=3$
Substituce: $t = \frac{x}{x+1}$
Vzniklá rovnice: $t- 2\sqrt{\frac{1}{t}}=3$
A dále už si nevím rady.

Výsledkem je: $-\frac{4}{3}$

Pro vlastníky knížky od Jindry Petákové, je to strana 16/17 a příklady ze cvičení 26)c a 27)f.
Děkuji za případnou pomoc.

Freedy · 04. 01. 2015 16:32 — Editoval Freedy (04. 01. 2015 16:39)

Ahoj,

a)

po navrácení k substituci dojdeš k závěru, že rovnice
$2x+\sqrt{x-1}=12$ má dva kořeny a to $x_1=5$ a $x_2=\frac{27}{4}$ ale ten druhý tam očividně nesedí (neekvivalentní úprava rovnice s neznámou pod odmocninou)
a že rovnice
$2x+\sqrt{x-1}=-2$ má dva kořeny a to $x_1=\frac{-7-\text{i}\sqrt{31}}{8}$ a $x_2=\frac{-7+\text{i}\sqrt{31}}{8}$ kde sice opět jeden vyhovuje, ale není reálný, tudíž existuje pouze 1 řešení a to x = 5

b)

zde by se spíš hodila substituce jiná a to:
$\sqrt{\frac{x+1}{x}}=t$ potom rovnice přejde do tvaru:
$\frac{1}{t^2}-2t=3$
$2t^3+3t^2-1=0$
Pokud si s tímhle budeš chvíli hrát, tak přijdeš na to, že jedním kořenem je -1.
můžeš tedy celou rovnici vydělit výrazem (t+1) a dostat se na tvar:
$2t^2 + t - 1=0$ z čehož už snadno dopočítáš kořeny $t_2=-1$ $t_3=\frac{1}{2}$ .

Navrácení k substituci $\sqrt{\frac{x+1}{x}}=t$ . Je zřejmé, že odmocnina je vždy číslo nezáporné, proto t = -1 nemůže vyhovovat (jestliže počítáme v reálných číslech)
Proto existuje jediné t, pro které existuje (možná) reálné x a to t = 1/2
$\sqrt{\frac{x+1}{x}}=\frac{1}{2}$ zde by jsi se již měl dopočítat kýženého výsledku

MatthewM · 04. 01. 2015 16:45

↑ Freedy:

Ahoj, super, díky za rychlé vysvětlení a že sis dal práci s tím to rozepisovat, teď už chápu, kde jsem chyboval. Ještě jednou dík a já označím téma za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2015 16:13 — Editoval MatthewM (04. 01. 2015 16:16)

Rovnice pomocí metody substituce

#2 04. 01. 2015 16:32 — Editoval Freedy (04. 01. 2015 16:39)

Re: Rovnice pomocí metody substituce

#3 04. 01. 2015 16:45

Re: Rovnice pomocí metody substituce

Zápatí