Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 04. 01. 2015 16:43

woody25
Příspěvky: 108
Reputace:   
 

Adiabatická expanzia

Dobry den,na nasledujucom priklade by som sa chcel naucit resp.pochopit viacero javov z oblasti fyzikalnej chemie,resp. z matematickej analyzy. Mam prepocitanych mnozstvo prikladov na expanzie ci kompresie, mnohe sa v zbierkach opakuju,a preto je pomerne jednoduche naucit sa par vzorcov, ktore nasledne vieme aplikovat na konkretne priklady. Matematiku nemam velmi rad, derivacie a integraly = horor. Pri spominanych lahsich prikladoch som sa integrovat naucil tak, ze som si to donekocna prepocitaval a akosi som si osvojil dany postup. No tento priklad mi pride velmi narocny, a samotne integrovanie uz nezvladam vobec. Zbierka ponuka aj postup, no nie vsetkemu rozumiem, a preto by som vas poprosil o vase rady a napady.

Zadanie: Päť molov dusíka je pri teplote 200 ˚C a tlaku 1000000 Pa. Sústava vratne adiabaticky expanduje
na určitý objem tak, že jej teplota je 25 ˚C. Predpokladajte, že dusík sa správa stavovo
ideálne. Závislosť jeho molovej izobarickej tepelnej kapacity od teploty vyjadruje rovnica:
$Cp = 27,3 + 5,23.10-3.T - 4,2.10-9.T^{2} J K^{-1} mol^{-1}$

n = 5 mol
t1 = 200 ˚C T1=473 K
t2 = 25 ˚C T2 = 298 K
p1 = 1000000 Pa
Vypočítajte ΔU, ΔH, konečný objem a konečný tlak.

Riešenie: Pre adiabaticky dej plati
dU = dw = - pdV
podľa definície entalpie
ΔH = dU + pd V + V dp (toto sa odvodilo zo vzorca ΔH = ΔU + pΔV  ? )
Úpravou rovnice dostávame
dH = V dp
pretože pre ideálny plyn platí
dH = nCp dT

V = nRT / p

Platí tiež: $n C_{p} dT = nRT \frac{d p}{p}$


$(\frac{C_{p}}{T})dT=R d  ln p$ (odkial som dostal ln p? Viem ze to bude suvieist asi s derivovanim...)

$\int_{T1}^{T2}(\frac{Cp}{T})dT=R ln \frac{p2}{p1}$ (ako som dokazal upravit ln p na ln p2/p1 ?)

dalej uz dosadili v postupe konkretne cisla, najskor vypocitali lavu stranu rovnice

$- \int_{298}^{473} (\frac{27,3}{T} +5,23.10^{-3} -4,2.10^{-9} T)dT =$ (tu jedine co viem je, ze minus pred integralom je preto, ze sa zamenili hranice )

$-[27,3 ln T+5,23.10^{-3} T - \frac{4,2.10^{-9}}{2} T^{2}]_{298}^{473}$

$-[27,3 ln (\frac{473}{298})+5,23.10^{-3} (473-298) - \frac{4,2.10^{-9}}{2} (473^{2}-298^{2})]_{298}^{473} = -13,5276$

Kym napisem dalsi postup z prikladu, rad by som pochopil tuto cast. Budem rad ak mi akokolvek poradite ci ma usmernite. Najidealnejsie by urcite bolo osvojit si celu matematicku analyzu, ale vo fyzikalnej chemii pracujeme najma s tymito typmi prikladov, kde musime vyuzit poznatky z vyssieho levelu matematiky, a kde sa priklady castokrat opakuju. Potrebujem sa len naucit urcite pravidla,kroky,ako zvladnut podobne priklady. Stredoskolsku matematiku som mal rad,aj som ju ovladal, avsak derivacie ani integraly sme vobec nespominali.

Offline

 

#2 04. 01. 2015 17:26

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Adiabatická expanzia

Zdravím,

podle všeho opravdu bude problém s matematikou - nejsou to moc náročné výpočty, ale některé základy by bylo potřeba - alespoň tabulkové integrály a základy z výpočtu určitých integrálů + základy diferenciálních rovnic.

Toto je diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými T, p:

$n C_{p}(t) dT = nRT \frac{d p}{p}$

řeším tak, že levou a pravou stranu zintegruji, $\ln p$ dostanu jako $\int \frac{\d p}{p}=\ln p+K$

Pro určitý integrál dosazuji meze $p_2$ a $p_1$, mám $\ln p_2-\ln p_1=\ln\(\frac{p_2}{p_1}\)$ podle pravide počítání s logaritmy.

Podle tabulkových vzorců se počítala i levá strana rovnice (ještě bylo dosaženo a upraveno $C_p(t)=...$). Řekla bych, že materiály VŠB k základům mat. analýzy by mohly pokrývat, co potřebuješ + tabulky Bartsch napr. Chceš nějaké odkazy? Děkuji.

Offline

 

#3 04. 01. 2015 17:42

woody25
Příspěvky: 108
Reputace:   
 

Re: Adiabatická expanzia

Ano budem vdacny za odkazy. Zatial Vam dakujem.

Offline

 

#4 04. 01. 2015 17:52

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Adiabatická expanzia

Z VŠB bych použila odkazy z integrálního počtu a z diferenciálních rovnic, potom online výpočty s MAW (integrál, určitý integrál a diferenciální rovnice), jen budeš používat vždy proměnnou x.

Potom bych doporučila mít doma Rektoryse nebo Bartsche (zatím třeba z knihovny), ale hodí se mít vlastní. V antikvariatech k sehnání jsou.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson