Matematické Fórum

Somar · 05. 01. 2015 10:33

Zdravím, potřeboval bych poradit s tímto příkladem:
Vypočtěte síly působící na hráz tvaru rovnostranného trojúhelníka o délce strany 1 m. Hladina vody o hustotě $1000 \frac{kg}{m^{3}}$ dosahuje až na hranu hráze. Atmosférický tlak uvažujte $10^{5}Pa$ .

KennyMcCormick · 06. 03. 2015 08:23

Nejsem si jistý, ale možná bych to zkusil takhle:

Rozdělím si hráz na n vodorovných obdélníků. Tzn. šířka i-tého obdélníku bude
$1-\frac1{n}(i-1)=1-\frac{i}n+\frac1n$ .

Výška každého obdélníku bude
$\frac{\sqrt3}{2n}$ ,

odtud obsah i-tého obdélníku bude
$S_i=\left(1-\frac{i}n+\frac1n\right)\cdot\frac{\sqrt3}{2n}=\frac{\sqrt3}{2n}-\frac{i\sqrt3}{2n^2}+\frac{\sqrt3}{2n^2}$ .

Protože tlaková síla roste přímo úměrně s rostoucí hloubkou, můžeme si představit, že tlaková síla působí vždy ve středu každého obdélníku. Střed i-tého obdélníku se bude nacházet v hloubce
$h_i=\frac{\sqrt3}{4n} + \frac{\sqrt3}{2n}(i-1) = \frac{\sqrt3}{4n}+\frac{i\sqrt3}{2n}-\frac{\sqrt{3}}{2n}$ .

Tlak, který působí na i-tý obdélník, je
$p_i=h_i\varrho g = \varrho g\left(\frac{\sqrt3}{4n}+\frac{i\sqrt3}{2n}-\frac{\sqrt{3}}{2n}\right)=\frac{\sqrt3}{4n}\varrho g + \frac{i\sqrt3}{2n}\varrho g - \frac{\sqrt{3}}{2n}\varrho g$ .

Síla působící na i-tý obdélník bude
$F_i = p_iS_i = \left(\frac{\sqrt3}{4n}\varrho g + \frac{i\sqrt3}{2n}\varrho g - \frac{\sqrt{3}}{2n}\varrho g\right)\left(\frac{\sqrt3}{2n}-\frac{i\sqrt3}{2n^2}+\frac{\sqrt3}{2n^2}\right) =\nl= -\frac3{8n^2}\varrho g + \frac{9i}{8n^3}\varrho g - \frac3{8n^3}\varrho g + \frac{3i}{4n^2}\varrho g - \frac{3i^2}{4n^3}\varrho g$ .

Odtud vypočítáme sílu působící na všechny obdélníky dohromady jako
$F_c = \sum_{i=1}^n F_i = \sum_{i=1}^n \left(-\frac3{8n^2}\varrho g + \frac{9i}{8n^3}\varrho g - \frac3{8n^3}\varrho g + \frac{3i}{4n^2}\varrho g - \frac{3i^2}{4n^3}\varrho g\right)=\nl= \sum_{i=1}^n -\frac3{8n^2}\varrho g + \sum_{i=1}^n\frac{9i}{8n^3}\varrho g + \sum_{i=1}^n - \frac3{8n^3}\varrho g + \sum_{i=1}^n \frac{3i}{4n^2}\varrho g + \sum_{i=1}^n - \frac{3i^2}{4n^3}\varrho g=\nl= -\frac3{8n}\varrho g + \frac{9(n+1)}{16n^2}\varrho g - \frac3{8n^2}\varrho g + \frac{3(n+1)}{8n}\varrho g - \frac{(n+1)(2n+1)}{8n^2}\varrho g$

Přesnou hodnotu síly, kterou voda působí na plochu, získáme rozdělením plochy na nekonečné množství obdélníků, tj.
$F = \lim_{n\rightarrow\infty}F_c=\frac38\varrho g-\frac14\varrho g=\frac18\varrho g = \frac18\cdot1\:000\cdot9,81=1\:226,25N$ .

Toto je hydrostatická síla, která působí na hráz.

Z obou stran působí i tlaková síla atmosféry, která je rovna
$F_{atm}=p_aS=10^5\cdot\frac{1\cdot\frac{\sqrt3}2}2\doteq43\:301,27N$ .

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2015 10:33

Síla působící na hráz

#2 05. 01. 2015 12:20 Příspěvek uživatele rss byl skryt uživatelem Brzls. Důvod: nelogický výrok...

#3 06. 03. 2015 08:23

Re: Síla působící na hráz

Zápatí