Matematické Fórum

Wooh · 05. 01. 2015 12:51

Zdravím, poradil by mi prosím někdo jak řešit tento typový příklad? Nejsem si vůbec jistý jak tyto příklady řešit, když řada není geometrická :) díky
$\text{Urcete obor konvergence a soucet rady s(x)=} \sum_{k=1}^{\infty }k\cdot x^{k} . \text{ K urceni souctu vytknete x a radu integrujte.}$

Rumburak

Ahoj.

O mocninných (neboli potenčních) řadách (což jsou řady tvaru $s(x) = \sum_{k=0}^{\infty}a_k x^k$ , kde $(a_k)$ je nějaká posloupnost konstant
nezávislých na $x$ ) a jejich konvergenci existuje celkem jednoduchá teorie, kterou jste patrně probírali nebo ji máte vyloženou
ve studijních materiálech. Důležité pojmy a věty :

1) poloměr konvergence m. řady,
2) konvergenční kruh m. řady,
3) věta o absolutní konvergenci m. řady uvnitř konv. kruhu,
4) věta o lokálně stejnoměrné konvergenci m. řady uvnitř konv. kruhu,
5) věta o derivaci resp. integraci m. řady uvnitř konv. kruhu "člen po členu",
6) Abelova věta o chování m. řady v hraničních bodech konv. kruhu.

Vyšetřování m. řady standardně začíná určením poloměru její konvergence a tedy i konv. kruhu. K tomu lze v běžných případech
použít větu z bodu 3 v kombinaci s některým z kriterií pro vyšetřování konvergence řad s nezápornými resp. kladnými členy -
zde pomůže d'Alembertovo.

Wooh · 05. 01. 2015 14:58

Tak poloměr konvergence jsem určil, akorát pořád nevím co s tím součtem. Moc mi ta nápověda u toho zadání nedává smysl. Většinou to fungovalo tak, že jsem pomocí derivace nebo integrace dostal geometrickou řadu, tu jsem sečetl a výsledek zase derivoval/integroval.

Rumburak · 05. 01. 2015 15:23

Když z této řady, o níž se konkretně jedná, vytkneš $x$ , dostaneš řadu, kterou lze na geometrickou převést integrací.

Wooh · 05. 01. 2015 15:45

Tak jsem se snad dopracoval výsledku, děkuji za pomoc.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-01/69110_plot.jpg

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2015 12:51

Funkční řady-obor konvergence/soucet

#2 05. 01. 2015 14:31 — Editoval Rumburak (05. 01. 2015 14:32)

Re: Funkční řady-obor konvergence/soucet

#3 05. 01. 2015 14:58

Re: Funkční řady-obor konvergence/soucet

#4 05. 01. 2015 15:23

Re: Funkční řady-obor konvergence/soucet

#5 05. 01. 2015 15:45

Re: Funkční řady-obor konvergence/soucet

Zápatí