Matematické Fórum

Paria · 05. 01. 2015 19:53

Zdravím,
řeším problém s limitou, zkoušel jsem ji počítat všelijak legálně i ilegálně a nakonec jsem se ke správnému výsledku dobral, ale nejsem si jistý, jestli legitimní cestou (jelikož jsem výsledek znal, dělal jsem vše pro to, aby to vyšlo tak, jak jsem chtěl :D)
Tím, že je cos x definovaný na R, neviděl jsem problém v rozkládání limity.
$\lim_{x\to0}[\frac{(1+cos(x))^{x}+1}{2}]^{\frac{1}{x}}$
Nevím, co jiného bych s tím mohl udělat, než ji přehodit na exponent, tedy
$\lim_{x\to0}\mathrm{e}^{\frac{1}{x}\log{\frac{(1+cos(x))^{x}+1}{2}}}$
Když tedy podle VOLSF budu počítat dál pouze s exponentem, řeším limitu
$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\log{[\frac{(1+cos(x))^{x}+1}{2}]}$
Vzhledem k tomu, že mi jde vnitřní fce logaritmu k jedničce ((1+1)^0+1)/2, tak jsem zkoušel přes známou limitu vypreparovat logaritmus, ať tam nestraší... Z toho mi pak vypadlo
$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}[\frac{(1+cos(x))^{x}+1}{2}-1]$
Tady jsem v situaci, kdy nevím co jiného udělat, než nějakým způsobem odstranit x z exponentu, protože sice by mi umocňovat na 0 nevadilo, ale potřebuju se zbavit dělení nulou a tak jsem doufal, že tohle pomůže.
$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}[\frac{\mathrm{e}^{x\log({1+cos(x)})}+1}{2}-1]$
Chci použít známou limitu, tak si na to zlomek připravím:
$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}[\frac{\mathrm{e}^{x\log({1+cos(x)})}-1+2}{2}-1]$
A teď ji tam napasuju
$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}[\frac{{x\log({1+cos(x)})}+2}{2}-1]$
Znovu nevidím nic jiného k úpravě, než odhodit logaritmus, takže si jej připravím
$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}[\frac{{x\log2({\frac{1}{2}+\frac{cos(x)}{2}})}}{2}]$
$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}[\frac{x\log{2}+x\log{(\frac{1}{2}+\frac{cos(x)}{2})}}{2}]$
A pak se tedy toho logaritmu s cosinem zbavím
$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}[\frac{x\log{2}+x(\frac{1}{2}+\frac{cos(x)}{2}-1)}{2}]$
Škrtnu x a upravím
$\lim_{x\to0}[\frac{\log{2}-\frac{1}{2}+\frac{cos(x)}{2}}{2}]$
Tady už bych neměl mít problém dosadit a vyjde mi tedy
$\frac{\log{2}}{2}$
Což mi tedy snad hodí po převedení zpět na původní limitu s exponentem $\sqrt{2}$ ...
Používal jsem známé limity $\lim_{y\to0}\frac{\mathrm{e}^{y}-1}{y}=1$ , $\lim_{y\to0}\frac{\log{(y+1)}}{y}=1$ , $\lim_{y\to1}\frac{y}{y-1}=1$

Předem díky za kontrolu a případné námitky či návrhy.

Bati · 05. 01. 2015 22:31

↑ Paria:
Ahoj, je to všechno OK.

Je dobré při takovém postupu myslet na to, že tam před tím celým stojí 1/x, protože pokud by některá z těch postupných limit neexistovala, nemůžeme o původní limitě nic říct, protože samotná limita z 1/x neexistuje. Jinými slovy: až do poslední chvíle nevíme, jestli ta limita vůbec existuje. Zde to ale vyšlo, takže všechno OK.

Paria · 07. 01. 2015 06:16

Děkuji pěkně,
šlo totiž o to, že než se mi povedlo vykouzlit výsledek správný, tak jsem se několikrát dostal k chybnému (včetně poměrně kuriózních vzhledem k zadání) a byl jsem opravdu zoufalý. Dělá mi problém uvědomovat si co smím a co nesmím. Jde především o VOLSF - teoreticky ji znám, dokážu napsat důkaz, ale při reálném použití si myslím, že právě v ní dělám často chybu (popř. použití VOAL a následně VOLSF). Nevíte prosím o nějaké stránce, kde by byly cvičení zaměřená právě na toto?

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2015 19:53

Limita n-té odmocniny v nule

#2 05. 01. 2015 22:31

Re: Limita n-té odmocniny v nule

#3 07. 01. 2015 06:16

Re: Limita n-té odmocniny v nule

Zápatí