Matematické Fórum

Wooh · 05. 01. 2015 20:48

Zdravím, poradili byste mi někdo jak dokázat toto tvrzení? Děkuji moc za rady :)
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-01/87244_aaaaaaaaaa.jpg

Sergejevicz · 05. 01. 2015 21:12

V nerovnosti z návodu proveď mocninu na levé straně, objeví se tam člen, který je sumován v sumě, jejíž konvergenci máš ukázat, za ten do sumy dosaď, aplikuj linearitu sumy a konvergentnost vstupujících sum, a taky si rozmysli, jak je to s kýženým zakomponováním absolutní hodnoty.

Sergejevicz · 05. 01. 2015 21:17

Anebo trojúhelníková, pak Cauchyova-Schwarzova a Youngova nerovnost a pak použít nerovnost z návodu pro sum_a_k a sum_b_k místo a_k a b_k, upravenou stejně, jako jsem psal v minulém příspěvku.

Wooh · 06. 01. 2015 00:20

Mohl by si mi prosím trošku naznačit jak by to vypadalo? :)

Sergejevicz · 06. 01. 2015 07:44

Tak jo :-). No možná jsem to neříkal prve úplně dobře, nejdřív dosadit a pak rozmýšlet abs. h.. Ono je asi potřeba nejprve pořešit tu abs. h. a pak až dosadit.

Nejdřív si připravím to z návodu. Je
$(a_k - b_k)^2\geq 0$
$a_k^2 - 2a_kb_k + b_k^2\geq 0$
$a_kb_k\leq \frac{1}{2}(a_k^2 + b_k^2)$ .

Abs. h. bych pořešil asi takhle. Udělej si podobný postup pro $(a_k + b_k)^2\geq 0$ , což jistě také platí pro libovolné $a_k, b_k$ stejně jako v návodu. Dostaneš
$-a_kb_k\leq \frac{1}{2}(a_k^2 + b_k^2)$ ,
takže spolu s předchozí nerovností máme
$|a_kb_k|\leq \frac{1}{2}(a_k^2 + b_k^2)$ .
A to teď použiješ při odhadování $\sum_{k=1}^\infty|a_kb_k|$
(chceme ukazovat absolutní konvergenci, proto ty abs. h.).

Kdyžtak piš.