Matematické Fórum

bardo · 07. 01. 2015 12:27

Dobrý den,

momentálně řeším následující problém.

Jedná se o výpočet + graf, kde je znázorněna závislot tlaku, teploty s časem. Konkrétně se jedná o nádobu (např. nástěnná lampa, která je zcela utěsněná = vnitřní objem lampy je 13,8 l), která se vlivem žárovek uvnitř zahřeje na teplotu 60°. Poté po vypnutí žárovek, začíná pomalu chladnout z 60°C na 25°C za čas 23 min.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-01/29987_graf.jpg

V grafu je vidět jak vzniká podtlak v lampě. Červená čára znázorňuje vývoj tlaku bez membrán pro vyrovnání tlaku. Další čáry znázorňují vývoj tlaku z různými druhy membrán s různou schopnosti výměny vzduchu.

Tento graf jsem obdržel od jisté firmy,ale rád bych se dozvěděl jakým způsobem k tomu grafu došli. Podle jakého vzorečku ?

Děkuji za odpověď

O.o · 07. 01. 2015 13:25

↑ bardo:

Mozna jsem to spatne pochopil, ale takhle to vypada spis na zmerena data, ktera jsou zobrazena grafem?

bardo · 07. 01. 2015 14:09

↑ O.o:

Mno to prave asi není. My jsme této firmě zadali pouze :
vnitřní objem lampy (V=13,8l)
změnu teploty z 60°C na 25 °C za 23 min.

a oni nám poslali tento graf, kde jsou znázorněny různé druhy membrán, aby jsme měli představu jakou membránu si vybrat a připadně použít.

Je možné, že tato firma použila své naměřené data z dřívějších měření některých lamp. Nějaké zkušenosti jistě mají.

Právě proto jsem se chtěl zeptat, zda za tímto grafem stojí nějaký vzoreček nebo spíše jen zkušenosti a naměřená data z jiných měření.

Přesto by mě zajímalo, zda by se toto nedalo vyjádřit nějakým vzorečkem. Rád bych vytvořil v excelu aplikaci, která by toto počítala. Já bych zadal vstupní hodnoty (tlak, změna teploty za čas atd.) a poté mi vyjede podobný graf.

Moc jsem nepochopil, proč se křivka blíží hodnotě podtlaku 100 mbar a nepřekročí ji. Musí to souviset s teplotou 25°C. Ale přeci pokud by šla teplota ještě níž, tak by se i zvětšloval podtlak?

Normálně bych očekával graf lineární z hodnoty 0 na -100 a né nějakou funkci 1/x.

Prostě nechápu.

Díky za případné objasnění

O.o · 08. 01. 2015 03:33 — Editoval O.o (08. 01. 2015 03:35)

↑ bardo:

Vezmu to poporade, nejspis to bude delsi, trpelivost.

a/ objem, teplotni rozpeti a cas jim staci k takovemu grafu (oni si presto zvoli vlastni podminky, jako ze teplota rostla linearne, ...), mohli by to dat dohromady i z jinych udaju. Ukazuji pouze funkce jejich membran, k tomu nepotrebuji zvlastnosti tve lampy, to by nic zasadne nemenilo.

b/ poslali vam graf, pozadej je prosim, jestli by ti mohli rict, jak k danemu grafu prisli (to by nemel byt problem, je to informace, ktera jim neublizi vydat a tobe by ji meli dat hlavne uplne automaticky spolu s grafem). Zkus je pozadat, jestli by ti take nemohli zaslat data k vypoctu pripadne, alespon nerekli jak to pocitaji (nebo jestli pouze merili, pripadne jaka data maji namerena)

(poznamka: dopredu avizuji, ze bez nekterych namerenych hodnot - jak jsem zminoval v minulem prispevku - to takto dopocitat nejde).

c/ Navrhnu ti, jak by mohl vypadat popis matematicky uzavreneho systemu (nejprve drobnost: 1/x je pekna funkce, ale tady jde pravdepodobne o exponencialni funkci, v chemii a fyzice zjistis, ze exponencialni funkce se sroubuje prakticky na vsechno ;-)).
Hledejme tedy exponencialni funkci, ktera nam vyjadruje zmenu tlaku s casem takto:
$\frac{dp}{dt} = k \cdot p$ , kde p je tlak, t cas a k konstanta (ktera neni tak uplne konstantou, ale to pozdeji).
$\frac{dp}{p} = -k \cdot dt \Rightarrow p_1 = p_0 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot (t_1 - t_0)}$ , vychazime ze stavu t = 0: $p_1 = p_0 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t_1}$ , na pocatku (stav nula) mame $T_0 = (273,15+60) K$ , $V = 0.0138 m^3$ , $R = 8,314 JK^{-1}mol^{-1}$ , $n = 1mol$ (nebo treba $n = \frac{101325 \cdot 0.0138}{8,314 \cdot (273,15+25)}$ z pV = nRT - tady se muze hodit prakticky cokoli, zalezi jake mnozstvi plynu vy nebo oni uvazujete uvnitr lampy, ja pro zjednoduseni pouzil 1 mol). Jako dalsi zjednoduseni uvazujme idealni plyn uvnitr nadoby a vyjadreme $p_0 = \frac{nRT_0}{V} = \frac{1 \cdot 8,314 \cdot (273,15+60)}{0,0138}$ . Mame tedy rovnici, ktera nam vyjadruje tlak v case $p_1 = p_0 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t_1}$ , zname $p_0$ , zname k, a cas si doplnime (excel, nebo cokoli co pouzivas). V zavislosti na tom jake dosadis n a jake dosadis k, tak dostanes krivku podobnou teto (na obrazku je vice krivek s drobne odlisnou hodnotou k, jen pro ukazku):
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-01/82517_exp.PNG .

Takto jsme udelali takovy zjednoduseny model uzavreneho systemu tvoji lampy. Pro nazornost uvedu, ze na obrazku jsou pouzity tyto hodnoty: $n = \frac{101325 \cdot 0.0138}{8,314 \cdot (273,15+25)}$ a $k = -0.008$ (k jsem menil, uz nevim kterym smerem :-)).
Jak vidis, tak krivka se shoduje tvarem s tvoji cervenou, kde byl system take uzavren, ovsem neshoduji se cisla: pouzivam pascaly ne bary (!), na ose y neni vylozena zmena tlaku, ale pouze tlak (to uz si v excelu muzes dopocitat, kdyz vis, jake jsou tlaky, a pote vyplotit), kdybych upravil hodnotu n a k, tak bych se postupne nejspise mohl dopracovat na stejnou krivku jako maji oni.
(zmena teploty neni explicitne vyjadrena, ale vyjadruje ji prave exponencialni tvar a konstanta k)

d/ system s membranou uz je samozrejme problemovejsi, tlak se nemeni pouze v zavislosti na teplote, ale i na zmene mnozstvi plynu (latkove mnozstvi, resp. hmotnost), pro to by sla sestavit diferencialni rovnice, kde by vystupovaly takoveto cleny: $\frac{dT}{dt}$ a $\frac{dm}{dt}$ , tedy vyvoj teploty s casem a hmotnostni tok (nebo latkovy chces-li). Pote bys musel hledat nejake vyjadreni takovychto zmen, integrovat a bylo by (nic snadneho, co bych tady delal :-)). Ale v zasade zjistis, ze resit se to da i obdobne jako v predchazejicim pripade a to tak, ze hmotnostni (latkovou) zmenu zradime do nasi exponencialy a dostaneme toto: $p_1 = p_0 \cdot \mathrm{e}^{-k_s \cdot t_1}$ , kde $k_s = k_T + k_n$ (presel jsem na latkove mnozstvi n, abys si nemusel predstavovat velicinou s kterou jsme tu jeste nepracovali), 'k_s' (s znaci sum) je soucet konstant, kde prvni vyjadruje nasi zavislost na teplote a druha zavislost na latkovem toku. Tyhle konstanty (stejne jako v kroku c/) je potreba hledat v tabulkach, resp. zmerit v laboratori - bez toho to dale nejde. Peken vyjadrene ti potom daji stejne krivky jako maji oni u membran, ale to se mi uz v tuhle dobu nechtelo pocitat.

e/ krivka se blizi k nejake hodnote: to je uplne normalni a je to i logicke, fyzikalne to ani jinak jit nakonec nemuze, bude tam nejake blizeni k nejake asymptote uz jen proto, ze tlak nema zaporne hodnoty (jinak se podivej na exponencialu, take se blizi k nejake asymptote). V tohmle pripade kdyby pokracovali se snizovanim teploty, tak by dale krivka mela klesajici tendenci, sam vidis, ze na konci ma jeste mirny pokles.

f/ u idealniho plynu bys takove chovani mohl predpokladat z pV = nRT => p = nRT/V, tedy tlak je linearne zavisly na teplote, u relaneho plynu takove situace nenastava na vetsich teplotnich intervalech, protoze je zde zastoupeno vice jevu.

Tak jen shrnuti a zaver uz chybi :-).

Pouzil jsem spousty zjednoduseni (idelani plyn, nezavislsot konstant, ...), to vse muzou tvoji kolegove pocitat jinak, ja se snazil jen ilustrovat proc jsou potreba merena/tabulkova data (protoze nejak musis popsat vlastnosti membran) a ze v exponenciale je sila (! :-) !).

Doufam, ze se ozve nekdo z kolegu, jsou chytrejsi nez ja a treba ti k tomu reknou hezci pohadku a urcite hezci rovnice ;-).

No je hodne pozde, jdu spat, snad jsem toho nepopletl moc, klidne to nekdo smazte, jestli jen placam, dekuji a snad das vedet, co ti napsali na to, jak dany graf ziskali.

bardo · 08. 01. 2015 08:32 — Editoval bardo (08. 01. 2015 11:05)

↑ O.o:

Teda, klobouk dolu.....

Musím vše přelouskat v klidu, doma, zda tomu budu rozumět. Ale musím říct, že je to vyčerpávající odpověd.

Lidi, jak tohle všechno můžete nosit v hlavě? :)

Jinak co se týče té věci, ať mi napíšou jakým způsobem to spočítali.
To bude trochu složitější. Tato firma má právě placenou službu, která toto spočítá.
Zabývá se právě návrhem a doporučením, kterou membránu použít pro specifický systém a samozřejmě s tím, že tu membránu u nich koupíme.
Tudíž bych nepředpokládal, že nám řeknou své know-how, když jim za to můžeme zaplatit. :)

Pro úplnost ještě přikládám datasheet pro ty membrany. Zde jsou uvedeny jejich vlastnosti.
Odkaz

Z toho bych usuzoval, že ten graf samozřejmě souvisí s jejich naměřenými hodnotami, které se nacházejí v jejich grafu v datasheetu.
Myslíte že tyto hodnoty v tom grafu spočítali nebo to jsou skutečně naměřené hodnoty?

Nicméně mnohokrát děkuji za radu a za vyčerpávající odpověď.

Já jsem si naivně myslel, že se jednoduše použije vzoreček $\frac{p_{o}V_{0}}{T_{0}}=\frac{pV}{T}$ , kde objem se nemění, tak se vyruší. Počáteční tlak doplním, teploty také znám a pouze vypočítám různé tlaky v rozsahu 23 min. Ale samozřejmě, že z toho mi vyjde lineární přímka a ne to co je v grafu. Bylo mi tak trochu jasné, že takto jednoduše na to jít nemusím, ale přesto mě to nedalo :)

Budu muset ještě hodně doplnit vzdělání :)

Díky

O.o · 08. 01. 2015 14:33 — Editoval O.o (08. 01. 2015 14:41)

↑ bardo:

Jeste jednou zdravim,

$\frac{p_{o}V_{0}}{T_{0}}=\frac{pV}{T}$ , ikdyz se to nezda, tak jsem pouzil prakticky to same.
Jak jsem psal pouzivam idealni plyn jako $pV = nRT \Rightarrow \frac{pV}{T} = nR$ , za predpokladu nR konstanty, $\frac{pV}{T} = konst.$ dve takove konstanty muzeme proti sobe porovnat (system sev jejich smeru nemeni, tedy jsou stejne pro ruzne stavy) jako: $\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$ , jak vidis, vysledek je stejny.
Tobe by zustalo $\frac{p_1}{T_1} =\frac{p_2}{T_2}$ a to je perfektne vporadku, ale nepomuze to tvemu problemu, protoze tady za predpokladu znalosti tri promennych dopocitas ctvrtou (dve teploty a jeden tlak v tvem pripade), ale takova hodnota noveho tlaku muze nastat v jakemkoli case, protoze tady cas nikde nevystupuje, tak nemas jak priradit casovou hodnotu k takovemu tlaku (takze z toho muzes sestavit graf zavislosti p na T nebo T na p, ale ne p na case).
Jak tedy vidis, tak je potreba nejak tam zapojit cas, kdyz tedy znovu zacneme u idealniho plynu, tak muzeme postupovat takto:
$pV = nRT$
$p = \frac{nR}{V}T$
$\frac{dp(t)}{dt} = \frac{nR}{V} \cdot \frac{dT(t)}{dt} = | \frac{dT(t)}{dt} = -k \cdot T(t) | = \frac{nR}{V} \cdot -k \cdot T(t) = | T(t) = \frac{p(t)V}{nR} | = \frac{nR}{V} \cdot -k \cdot \frac{p(t)V}{nR} = -k \cdot p(t)$ no a jsme tam, kde jsem rovnou zacal (tady se da zacit rovnou, ale nebudu ti do toho zbytecne tahat, proc at te to neplete).

Oni nejspise postupuji tak, jak jsem navrhoval predtim, s clenem hmotnotniho toku, ten pro ne nebude tezke vyjadrit, exponenciala u zmeny teploty je stejna (nebo mohli postupovat s dvema konstantami primo jako jsem zminoval a fitovat to tak, je to jedno). Pote proste namerili data se svymi membranami a nafitovali to, aby dostali potrebne konstanty. Diky tomu to ted mohou prepocitavat v ruznych cassech a teplotach, jak potrebuji.

No neni to zadny zazrak, ale jinak se to moc neda, kdyz maji vlastni membrany, tak k nim tabulkove hodnoty nebudou k dostani, protoze je nejspise jeste nikdo jiny nevyrabel a netestoval (patent). Kdyz si za temi daty stoji, aby mohli prodavat svoje produkty, tak musela probehnout nejaka validace na jejich model, aby vedeli, ze to co pocitaji je, v danem ramci, korektni.

EDIT:
Malem bych zapomnel, ta data, ktera maji v tabulkach z tveho odkazu jsem bezesporu alespon z casti namerene. Bohuzel svet modelovani neni tak daleko, abychom si mohli dovolit rict, kdyz neco namodelujeme, tak to tak je i v realite. Pri modelovani se pouziva cela rada zjednodusovani, aby bylo takovy problem vubec mozne nasimulovat v realnem case, takove modely vzdy prochazeji validaci (tech validaci je ve sktuecnosti v prubehu tvoreni modelu nekolik, prakticky na kazdy krok, ktery namodeluji v laboratori musim hned vymyslet, jak ho i validovat - coz je asi ta zdlouhavejsi faze proti samotnemu vyvoreni teorie a modelu xD).