Matematické Fórum

jelinekgreen · 08. 01. 2015 17:53

↑↑ vlado_bb: Jojo, princip chápu perfektně. Jenom si ty jednotlivé kroky potřebuju trochu projít a udělat si taky jasno v tom, jaká úvaha mě k čemu vedla. Ale to budu dělat už vážně až po zkoušce. Ještě je tam toho dost... Takže chci všem zúčastněným a především ↑↑ vlado_bb: za trpělivost moc poděkovat. Repka věnována :)

Bati · 08. 01. 2015 18:35

Limita z $\frac{n^n}{n!}$ se dá udělat rychleji. Řada $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$ je konvergentní podle podílového kritéria, a tedy dle nutné podmínky platí $\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}=0$ , z čehož už to plyne.

Pokud jste nebrali řady, ujišťuju tě, že důkaz podílového kritéria a nutné podmínky konvergence jsou dohromady tak na 5 řádků.

vlado_bb · 08. 01. 2015 19:13

↑ Bati:Ano, aj toto som zvazoval a dokaz je skutocne jednoduchy, lenze vyzaduje ovladanie dalsieho pojmu - suctu nekonecneho radu. A kedze ide iba o prve zoznamovanie sa s limitou, nechcel som pliest dohromady limitu postupnosti s limitou postupnosti ciastocnych suctov, preto som zvolil radsej postup s indukciou. Ale poznamka je to dobra.

Bati · 08. 01. 2015 19:19

↑ vlado_bb:
Chápu, bylo to opravdu míněno jako poznámka.

Pavel · 08. 01. 2015 20:19

Doplním všechna elegantní řešení ještě jedním postupem spočívající na nerovnosti mezï aritmetickým a geometrickým průměrem prvních $n-1$ přirozených čísel:

$\frac{1+2+\dots+(n-1)}{n-1}\geq\sqrt[n-1]{1\cdot2\cdots(n-1)}$

Na levé straně je součet aritmetické posloupnosti, na pravé faktoriál $(n-1)!$ , tj.

$\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n-1}\geq\sqrt[n-1]{(n-1)!}\quad\Rightarrow\quad\left(\frac n2\right)^{n-1}\geq(n-1)!$

Zadanou limitu lze určit takto:

$\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{n!}=\lim_{n\to\infty}\frac{n\cdot n^{n-1}}{n\cdot (n-1)!}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n-1}}{(n-1)!}\geq\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n-1}}{\left(\frac n2\right)^{n-1}}=\lim_{n\to\infty}2^{n-1}=\infty.$

Tudíž i původní limita je rovna $\infty$ .

Matematické Fórum

#26 08. 01. 2015 17:53

Re: Nevlastní limita

#27 08. 01. 2015 18:35

Re: Nevlastní limita

#28 08. 01. 2015 19:13

Re: Nevlastní limita

#29 08. 01. 2015 19:19

Re: Nevlastní limita

#30 08. 01. 2015 20:19

Re: Nevlastní limita

Zápatí