Matematické Fórum

jeylkey

edit: popletl jsem kroky ve vypoctu, opraveno
edit2: opravil jsem chybu, v reseni jsem pokrocil dal.

Dobry den,

resim nasledujici ulohu:

Necht' G znaci nasledujici mnozinu matic nad okruhem polynomu s celociselnymi koeficienty:

$G = \{\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 & f & g \\ 0 & 1 & h \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) | \ f,g,h \in \mathbb{Z}[x], f(0)=h(0)=0\}$

Tato mnozina tvori grupu vzhledem k operaci nasobeni matic. Uvazujme v G podmnozinu

$H = \{\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 & f & g \\ 0 & 1 & h \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) | \ f,g,h \in \mathbb{Z}[x], f(0)=h(0)=g(0)=0, f(1)=h(1), 2|f(3)\}$

Overte, ze H je normalni podgrupou grupy G.
Urcete, ktere grupe je izomorfni grupa (G,*)/H.

Reseni jsem zacal overenim normality podgrupy H:

$inv\begin{pmatrix} 1 & f & g \\ 0 & 1 & h \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & j \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & f & g \\ 0 & 1 & h \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a & b-cf+h(a-f) + fh \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

U tehle matice jiz neni problem ukazat, ze patri do H, tudiz H je normalni podgrupou G.

Potom musim najit izomorfizmus G/H:

$\begin{pmatrix} 1 & f & g \\ 0 & 1 & h \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot H = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot H \Leftrightarrow inv\begin{pmatrix} 1 & f & g \\ 0 & 1 & h \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\in H$

vypocet dava matici

$\begin{pmatrix} 1 & a-f & b-cf+fh-g \\ 0 & 1 & c-h \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Tahle matice patri do H, kdyz jsou splneny nasledujici podminky:

$a(0) = f(0);\ c(0)=h(0);\ b(0)=g(0);\ [a(3)]_{2} = [f(3)]_{2};\ a(1)-f(1) = c(1) - h(1).$

Ted' mi neni jasne, jak se z techto podminek da vyjadrit cemu je faktorova grupa izomorfni a jak vypada predpis izomorfizmu? Vedel by to nekdo?

Matematické Fórum

#1 17. 01. 2015 15:13 — Editoval jeylkey (18. 01. 2015 12:11)

Faktorove grupy nad maticemi

Zápatí