Matematické Fórum

Vytvořil jsem si normální sinusovku a k tomu spektrum pomocí Fourierovy transformace. Co nechápu ale je význam reálné a imaginární složky a jejich vzájemný vztah. Mohl by mi to někdo vysvětlit? Proč zelená čára dosahuje na mém monitoru maximální délky cca 6,6mm (na obrázku jsem omylem napsal 6,3mm)) červená jen 3,3mm. Znamená to že ta zelená čára představuje rozdíl mezi amplitudou v jednom směru a amplitudou ve směru opačném?

Myslím že nejlépe na tuto stránku odpovídá tato otázka/odpověď.

Především je třeba si uvědomit, co to jsou komplexní čísla a jak se znázorňují na diagramu. V gaussově rovině (vlevo) vidíme s tímto řešením se setkávám všude tam kde probíhá změny, střídání, otáčení - vstupními daty jsou střídavý proud nebo hodnoty signálu zapisovaný na ose y ; dále čas nebo úhel, případně perioda T, zapisovaná na horizontální ose x.

Hlavní rozdíl mezi těmito dvěma veličinami je v tom, že body měření zapisované v čase či úhlu jsou na ose, která je kladná a narůstá lineárně, proto ji nazýváme reálnou složkou.

Hodnoty signálu se mění a u střídavého proudu, napětí, výkonu apod. klesají do i do záporné části grafu, přestože reálně mají hodnotu kladnou, ale tím, že se mění směr proudu se zapisují na graf jako negativní. Proto tuto část nazýváme imaginární složkou. Imaginární složka či magnituda je hodnota daná (v čase | v prostoru | frekvencí - dle konkrétního případu) je to tedy okamžitá hodnota. U stejnosměrného třífázového proudu, jehož fáze
(začátky) jsou harmonicky posunuty o 120° a jehož hodnoty mají stejnou velikost amplitudy můžeme sledovat, že proud mění směr i svou velikost jak na cívce generátoru kde se generuje proud, tak na cívce motoru, který tento proud přebírá. Podobně na adaptéru či trafu, který proud dokáže přetransformovat, ale na výstupu je střídavý proud dokud tam nedáme usměrňovač.



Následně tato stránka zobrazuje animovaný graf:

http://betterexplained.com/articles/an- … transform/

Kde si všimneme modré sinusovky a dvou zelených. Přestože máme dva zelené signály, které mají stejnou amplitudu ale jedna zelená kulička se pohybuje rychleji (má konstantní rychlost). Zelené sinusovky jsou tedy chápány jako hodnoty naměřené nebo sledované či zapsané do grafu. Modrá křivka je rozdílem těch dvou zelených křivek. Když si graf zastavíme v momentě, kdy jedna zelená kulička má hodnotu nula (a) a druhá je ve své amplitudě (b), pak výsledná hodnota na modré křivce v tomto místě bude a+b čili 0+b = b. Pokud se obě nezelné kuličky setkají na vrcholu křivky v amplitudě a hodnota bude a+b=2+2=4 jako příklad.

Modrá křivka je tedy magnituda neboli velikost vektoru, který vidíme na Gaussově rovině a na obrázku nahoře je tato rovina zobrazena vlevo. Schéma tedy vlastně zobrazuje míru úhlu a velikosti veličiny v daný čas či v daném úhlu. Jinak můžeme říct, že u daného daného vzorku či signálu sledujeme frekvenci a intenzitu či velikost signálu. Neméně důležitou součástí Gaussovy roviny je vektor, který představuje magnitudu, a jeho velikost vypočítáme z pythagorovi věty, protože jak můžeme vidět, Gaussova rovina obsahuje diagram s pravým úhlem.

NYNÍ ODPOVĚĎ NA OTÁZKU:

Co je to spektrum? Spektrum je frekvenční doménou, která obsahuje hodnoty, které vyjadřují kolik jisté frekvence je obsaženo v obrazu.



Tento obrázek ukazuje že u sinusoidy je vždy jedna část signálu, která je vždy kladná a to je ta šedá čára... reálná část, která představuje např. činný výkon, faktickou sílu, apod. Červená křivka jde do záporného spektra jenom proto, že mění směr. Kdyby neměnila směr, nešla by do záporného spektra.

Šedá křivka tedy znázorňuje frekvenční doménu, protože odpovídá na otázku "kolik/jak moc" nikoliv na "otázku kterým směrem" ... při dané frekvenci.

U tohoto grafu je však jedna zvláštnost: modrá čára představuje nulu a dělí tak frekvenční doménu na záporné a negativní frekvence reálné složky. Levá strana grafu bez imaginární složky je vždy zrcadlovým odrazem toho pravého.

Převedeno do frekvenčního spektra získáváme tento graf:



Který nám zobrazuje černou čárou MNOŽSTVÍ KAŽDÉHO JEDNOTLIVÉHO SIGNÁLU, ať už jde směrem doleva nebo doprava.

Pozn: Je jasné, že směr doleva a doprav či dolů či nahoru je dán dvěma rovinami s bodem 0 v místě kde se protínají dvě osy. Mě by zajímalo jak se těmto rovinám říká. Myslím si že by to mohla být střední hodnota, ale nejsem si jistý.

Spektrum se také používá např. v grafických programech na zobrazení barev nebo odstínů:



To samé využití platí i pro měření pokrytí signálu ať už televizního, radiového nebo internetového, dále máme taky světelné spektrum světla:


Zde je výhoda že na tomto grafu je každá barva či frekvence zobrazena jinou barvou :-)

V obou těchto grafech ale máme pouze pozitivní reálnou složku.

V muzice se audio spektrum používá k detekování basů, vokalů, apod. Spektrum se také používá k rozpoznání hlasu.

V některých případech se spektrum zobrazuje na logaritmickém měřítku v decibelech, místo na lineárním měřítku.