Matematické Fórum

alixer · 24. 01. 2015 13:31

Dobrý den, zajímal by mě postup řešení této nerovnice. Sám jsem na něj nemohl přijít.

$(x+1)^{3} \le (x+1)^{-1}$

Děkuji za odpověď.

Freedy · 24. 01. 2015 13:38

Ahoj,

ta nerovnice je ve tvaru:
$(x+1)^3\le \frac{1}{x+1}$
Nejjednodušší nejspíš bude, řešit danou rovnici na dvou různých intervalech a podle toho otáčet znaménko nerovnosti (tato metoda je nyní určitě snazší, než převádění na jednu stranu a společný jmenovatel)
Pro $x>-1$ bude výraz $(x+1)$ kladný, proto vynásobíme celou nerovnici tímto výrazem a dostáváme:
$(x+1)^4\le 1$
toto upravíme do tvaru:
$(x+1)^4-1\le 0$
a využijeme rozdíl čtverců:
$((x+1)^2-1)((x+1)^2+1)\le 0$
Nyní řešíš, kdy bude výraz menší než nula nebo roven nule. To nastane v situaci, kdy budou mít oba činitelé různá znaménka, nebo bude jeden z nich (či oba) nulové. Pravá závorka je vždy kladná, proto tedy zkoumáš kdy:
$(x+1)^2-1\le 0$ samozřejmě na intervalu $x>-1$

analogicky prozkoumáš druhý interval $x<-1$ s tím, že při násobení otáčíš znaménko nerovnosti

byk7 · 24. 01. 2015 16:36 — Editoval byk7 (24. 01. 2015 22:58)

Podle toho, jak je nerovnice zadaná, bych řekl, že se jedná o úlohu na grafické řešení.

Odtud je pak vidět, že řešením je množina $(-\infty,-2\rangle\cup(-1,0\rangle$

Matematické Fórum

#1 24. 01. 2015 13:31

Nerovnice s jednou neznámou

#2 24. 01. 2015 13:38

Re: Nerovnice s jednou neznámou

#3 24. 01. 2015 16:36 — Editoval byk7 (24. 01. 2015 22:58)

Re: Nerovnice s jednou neznámou

Zápatí