Matematické Fórum

halogan · 24. 04. 2009 16:18

Dobrý den,

mějme následující kvadratickou rovnici s neznámou $x$ a parametrem $u$ (nezáporné celé číslo)

$x^2 + x \cdot (24u + 3) + (181 - u) = 0$

kde máme diskriminant:

$D = 576 u^2 + 144u + 9 - 724 + 4u = \boxed{576 u^2 + 148u - 715}$

A mě zajímá následující - kdy má daná kvadratická rovnice celočíselné (resp. jen přirozené) kořeny. Možná by i stačilo zjistit, kdy je daný diskriminant "odmocnitelný" na celé číslo. Ty další čachry s polovinami ( $\frac{\dots}{2a}$ ) se už nějak pořeší.

Nejspíš by měl být jen jeden takový parametr vyhovující, stačí tedy první.

Díky

(v tomto případě vyhovuje $u = 1$ . diskriminant tak nabyde hodnoty 9)

Kondr · 24. 04. 2009 18:11

Pokud je u x^2 jednička, tak tam ani čachry nebudou -- b a sqrt(b^2-4c) mají stejnou paritu, proto je součet i rozdíl dělitelný dvěma.

Jinak řešíme diofantickou kvadratickou rovnici
$576 u^2 + 148u - 715=k^2$
$576*576 u^2 + 576*148u - 576*715=576*k^2$
$(576u + 74)^2-576*k^2=417 316$
$(576u + 74-24k)(576u + 74+24k)=417 316$
Stačí nám tedy rozložit číslo na pravé straně na součin prvočísel.

V obecném případě se dá kvadratická diofantická rovnice upravit buď na Pellovu rovnici, nebo na tvar $am^2+bn^2=k$ , a,b>0, který má zřejmě jen konečně mnoho řešení.

Olin · 24. 04. 2009 22:17

↑ Kondr:
Jak jsi v tom uviděl to násobení 576? Chtěl jsem to řešit stejně, ale nedokázal jsem nějak rozumně doplnit na čtverec…

Kondr · 25. 04. 2009 00:49

↑ Olin:To je celkem algoritmické:
ax^2+bx+c=ey^2+fy //násobím 4a
4a^2x^2+4abx+b^2-b^2+4ac=4aey^2+4afy
(2ax+b)^2-b^2+4ac=4aey^2+4afy //násobím ae
ae(2ax+b)^2+ae(4ac-b^2)=4a^2e^2y^2+4a^efy
ae(2ax+b)^2+ae(4ac-b^2)=(2aey+ef)^2-(ef)^2
a tady už je vidět, že po vhodné substituci to přejde do základního tvaru zobecněné Pellovy rovnice, rozdílu čtverců nebo tvaru AX^2+BY^2=n zmíněného výše. A to jsem si zjednodušil život a na začátku předpokládal nulový koeficient u xy. Navíc u toho celkem narůstají koeficienty. Viděl jsem jakýsi webový kalkulátor, který počítal řešení bez vzorců pro Pellovu rovnici: http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM . Nejsem si ale moc jist jeho funkčností: zkoušel jsem ho pro x^2-10y^2=9 a výsledek se neshodoval s Mathworldem. Neměl jsem ale čas si přesně pročíst, jak fungují algoritmy zmíněného kalkulátoru, ale na první pohled to vypadalo jako zajímavé myšlenky.

svatý halogan · 02. 05. 2009 21:46

Díky moc, nastuduju to.

Matematické Fórum

#1 24. 04. 2009 16:18

Kvadratická rovnice s parametrem

#2 24. 04. 2009 18:11

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#3 24. 04. 2009 22:17

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#4 25. 04. 2009 00:49

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#5 02. 05. 2009 21:46

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

Zápatí