Matematické Fórum

geovektor

Ahojte, mam velmi specificky problem. Dostal som za ulohu dokazat vlasnosti funkcie kosinus, mam dokazat pomocou derivacie $(cos(x))'=-sin(x)$ a bolzanovej vety ze: Funkcia $cos(x)$ na intervale $(\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi )$
dalej ze klesa na $(2k\pi , \pi + 2k\pi )$ a ze nadobuda maximum v bodoch $2k\pi$ a minimum v bodoch $\pi +2k\pi$ Pomozete mi s tym? Vobec neiem ako na to, viem co hovori bolzanova veta, ale ako ju vyuzit s derivaciou? Prosim aspon o navod. Budem vam vdacny.

Rumburak · 27. 01. 2015 13:44

↑ geovektor:

Ahoj.

Záleží na tom, z jakých dalších vlastností funkcí sinus , kosinus se má vycházet - teorii těchto funkcí je možno
vybudovat vícero způsoby. Dejme tomu, že o funkci sinus již víme, že

(1) nabývá kladných hodnot na intervalech $(2k\pi , \pi + 2k\pi )$ ,
(2) nabývá záporných hodnot na intervalech $(\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi )$ ,
(3) je spojitá

(při tom předpokládáme, že $k$ probíhá množinu všech celých čísel).

Potom z uvedených vlastností a Bolzanovy věty plyne, že sinus nabývá hodnoty 0 v krajních bodech uvedených
intervalů.

Z podmínky (1) plyne, že pro libovolné $x \in (2k\pi , \pi + 2k\pi )$ je $(cos(x))'=-sin(x) < 0$ , což dává
informaci o chování funkce cosinus na tomto intervalu stran monotonie. Podobně dále.

Ale vše bude záviset na tom, jak jste si funkce sinus, kosinus zavedli na vaší přednášce a co už o nich máte dokázáno.

geovektor

Funkciu kosinus sme si zadefinovali pomocou tayloroveho radu, teda $cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+ ...$ a myslim ze v tomto dokaze mozem pouzit to, ze viem na akom intervale funkcia sinus je rastuca a klesajuca (bez toho by sa to asi ani nedalo) dalej pozname derivaciu funkcie $(cos(x))'=-sin(x)$ a bolzanovu vetu. To je vsetko a z toho musim vediet vyvodit dokaz no neviem ako na to.

Rumburak · 29. 01. 2015 14:17

↑ geovektor:

Ano, to je korektní definice funkce kosinus (dokonce v komplexním oboru).
Dále můžeme definovat $\sin x = - (\cos x)'$ a derivací řady pro kosinus dostaneme řadu pro sinus a pomocí ní
snadno zjistíme, že $(\sin x)' = \cos x$ (tyto úvahy jsou založeny na patřičných větách z teorie mocninných řad).
Dosazením $x = 0$ do jedné i druhé mocninné řady dostaneme

(1) $\sin 0 = 0, \cos 0 = 1$ .

Snadno zjistíme, že $(\sin^2x + \cos^2x)' = 0$ v libovolném bodě, tudíž funkce $x \mapsto \sin^2x + \cos^2x$ je konstantní.
Z (1) plyne $\sin^2x + \cos^2x = 1$ pro libovolné $x$ .

Obdobným, ale poněkud složitěji provedným trikem se odvodí známé vzorce $\sin (x+y) = ... , \cos (x+y) = ...$ .

Dále bude nutno nějak odtud zavést číslo $\pi$ a zjistit průběh obou funkcí - je tedy zřejmé, že kompletní vybudování teorie
goniometrických funkcí uvedeným způsobem dá ještě dosti práce.

Mohu doporučit literaturu: Vojtěch Jarník: Diferenciální poet I.

geovektor

A ako pomocou tychto vedomosti dokazeme ze funkcia $cos(x)$ na intervale $(\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi )$ rastie? Mam pocit ze to co ste uviedli nijako nedokazuje ze funkcia cos rastie na tomto intervale. Asi tomu dobre nerozumiem.

Rumburak · 29. 01. 2015 15:58

↑ geovektor:

Jde o to, že musíme vědět něco o čísle $\pi$ . Ze vztahu $\cos 0 = 1$ a ze spojitosti funkce cosinus plyne,
že tato funkce nabývá kladných hodnot na některém okolí nuly, odkud plyne, že množina $M$ všech
takových $m > 0$ , že funkce cosinus nabývá na $(0, m)$ pouze kladných hodnot , je neprázdná . Dá se
též ukázat, že je shora omezená, takže má kladné a pří tom konečné supremum $S$ , jehož dvojnásobek
značíme $\pi$ .

geovektor · 29. 01. 2015 16:23

takze staci zaviest ludolfovo cislo a nejakym sposobom vyuzit bolzanovu vetu a mame dokaz? Ako to urobime?

Rumburak

↑ geovektor:

Ve zmiňované Jarníkově knize je základním vlastnostem goniometrických funkcí věnováno
několik stránek.

Jeden krok:
Dosazení $x = 0$ do výše uvedené mocninné řady pro $\cos x$ triviálně dává $\cos 0 = 1$ .
Když do téže řady dosadíme $x = 2$ , pak další úpravou lze odvodit, že $\cos 2 < 0$ .
Funkce $\cos$ je (podle výsledků teorie mocninných řad) navíc spojitá na intervalu $\langle 0, 2 \rangle$ .
Podle Bolzanovy věty tak existuje $t \in ( 0, 2 )$ takové, že $\cos t = 0$ . Množina $T$ všech
takových $t$ je tedy neprázdná. Na základě spojitosti fce cosinus můžeme o ni dále říci,
že je uzavřená a zřejmě též omezená. Číselná množina $T$ s těmito vlastnostmi je kompaktní
a má svůj nejmenší prvek - označme ho $m$ a položme $\pi := 2m$ .

Další krok:
Co můžeme říci o chování funkce sinus na intervalu $\langle 0, m \rangle$ , víme-li dále, že
$(\sin x)' \equiv \cos x, \sin^2 x + \cos^2 x \equiv 1$ (viz některý můj starší příspěvek) ?

geovektor

teraz rozmyslam kam tymito uvahami smerujeme, myslim ze zo vztahu $\sin^2 x + \cos^2 x \equiv 1$ vieme odvodit: $sin(x)= |\sqrt[2]{1-cos^2(x)}|$ mate na mysli toto? Zo vztahu $(\sin x)' \equiv \cos x$ ma nenapada nic. Tam by sa mohol nejakym sposobom upravit ten interval $(0,m)$ ? Pomoze nam to nejakym sposobom? Knihu Vojtěch Jarník: Diferenciální poet I. som pozeral v Martine v kniznici, maju ju tam, takze si ju pozicam ked tam pojdem, najblizsie asi ohladom bakalarky. Diki.

Rumburak · 30. 01. 2015 14:57

↑ geovektor:

Z již dokázaného (nebo aspoň vyjasněného) jsem se chtěl dostat k tomu, že funkce sinus je na intervalu $\langle 0, m \rangle$
rostoucí a zobrazuje ho na $\langle 0, 1 \rangle$ . Tím máme základní představu o průběhu obou funkcí na uvedeném intervalu.

Dále: z řad pro cosinus a sinus triviálně plynou vztahy $\sin(-x) \equiv -\sin x , \cos(-x) \equiv \cos x$

Budeme ještě potřebovat vzorce

$\sin(x + y) \equiv \sin x \cos y + \cos x \sin y , \cos(x + y) \equiv \cos x \cos y - \sin x \sin y$ .

Dokazují se tak, že se vezme funkce

$F(x, y) := [\sin(x + y) - (\sin x \cos y + \cos x \sin y)]^2 + [\cos(x + y) - (\cos x \cos y - \sin x \sin y)]^2$

a jejím zderivováním podle $x$ resp. podle $y$ se ukáže, že je konstantní. Dosazení $x=y=0$ dá $F(x, y) \equiv 0$ ,
odtud ony vzorce. Z nich dosazováním čísla $m = \frac{\pi}{2}$ a jeho celočíselných násobků za proměnnou $y$ dostáváme další vztahy
a vlastně všechno, co potřebujeme o průběhu těchto funkcí vědět.

geovektor · 30. 01. 2015 15:28

vy teda mate prehlad, takze teraz uz len staci zakomponavat to $m$ nejako do dokazu s bolzanovou vetou?

Rumburak

↑ geovektor:

To $m$ je nejmenší prvek množiny $T$ , jejíž neprázdnost plyne z B. věty, jak podrobně vysvětleno v ↑ Rumburak: .

geovektor

aha, takze uz ste to dokazali nie? Na tom intervale $(0,2)$ predsa cosinus nadobuda zapornu hodnotu, takze plati bolzanova veta.

Rumburak

↑ geovektor:

Minulý týden jsem byl mimo web (proto jsem v ↑ Rumburak: nastínil celkový plán), takže můžeme pokračovat,
je-li to ještě aktuální. Podotýkám, že jsem nic nedokázal, jen jsem k tomu podal návod, jednotlivé kroky nutno
provést podrobně. Který z nich není ještě jasný ?

Poznámka:

Na tom intervale $(0,2)$ predsa cosinus nadobuda zapornu hodnotu, takze plati bolzanova veta.

Bolzanova věta platí nezávisle na tom, zda cosinus nabývá na $(0,2)$ záporných hodnot, či ne. Ale když nabývá,
pak lze B. větu použít díky tomu, že jde o spojitou funkci nabývající v 0 kladné hodnoty - viz předpoklady B. věty.
Taková je logika věci.

geovektor · 12. 02. 2015 19:42

Ano je to aktualne, za ten tyzden som rozmyslal ako to riesit a bol som aj za jednym matikarom, on mi povedal ze ku dokazaniu tychto vlastnosti nie je potrebna bolzanova veta a povedal ze to nevie dokazat s bolzanovou vetou takze som moc nepostupil a ja sam to akosi celkovo nechapem ten Vas postup, neviem no.

jarrro · 12. 02. 2015 20:55 — Editoval jarrro (12. 02. 2015 20:56)

nemá sa urobiť len klasický priebeh funkcie kosínus teda skúmať kde je derivácia kladná a kde záporná ?
Bolzanova veta je tam spomenutá preto, lebo zaručuje , že stačí rozdeliť definičný obor nulovými bodmi derivácie na intervaly a na tých intervaloch potom derivácia (-sin, ktorá je spojitá) nemení znamienko teda kosínus tam nemení monotónnosť

geovektor · 12. 02. 2015 21:29

tak potom ako bude vyzerat dokaz? ja to akosi nevidim v suvislosti.

jarrro · 12. 02. 2015 21:41

veď píšem klasický priebeh funkcie

Rumburak

↑ geovektor:

Zkusím to dát do trochu širšího kontextu.

Chceme-li dokázat, že funkce kosinus definovaná součtem příslušné řady je např. klasající na intervalu $(0, \pi)$ ,
pak musíme rovněžtak vědět, co je číslo $\pi$ . Mohli bychom vyjít z klasických geometrických představ a definovat
$\pi$ jako polovinu délky kružnice o poloměru 1. Odvození vztahů takto definovaného čísla $\pi$ k funkci kosinus
definované řadou je sise možné, avšak poněkud krkolomné. Matematická analýza nabízí jinou cestu: číslo $\pi$
odvodit rovnou z předpisu pro funkci kosinus (tedy z řady), a sice pomocí Bolzanovy věty, jak naznačeno v mém
příspěvku z 30.1.

Jde tedy o poněkud jiný přístup, než jaký známe ze SŠ, kde se číslo $\pi$ i gon. fce se odvozují z kružnice. Pomocí
prostředků matematické analýzy lze zavést a studovat gon. fce a číslo $\pi$ nezávisle na geometrii a geometrické
souvislosti pak prokázat dodatečně.

Matematický důkaz se ovbykle skládá z konečné posloupnosti dílčích kroků, z nicž každý je nutno pochopit,
máme-li rozumět celku. Co KONKRETNĚ není jasné v postupu, který jsem navrhl ?

geovektor

ok, celu nasu diskusiu som si precital este raz a myslim ze nerozumiem nasledovnym bodom:
Hned vo vasom prvom prispevku ste uviedli: $(\sin^2x + \cos^2x)' = 0$ , tomuto trochu nerozumiem, nema to byt nahodou rovne jednicke?
Dalej nerozumiem vo vasom stvrtom prispevku jednej vete, dovolim si vas citovat: pak další úpravou lze odvodit, že $\cos 2 < 0$ . Tomuto trosku nerozumiem ako to tak snadno je mozne ukazat.
A tiez by som sa chcel spytat ze vo vasom druhom prispevku ste napisali, opat citujem: Dále můžeme definovat $\sin x = - (\cos x)'$ Toto sme odvodili zo vztahu $(cos(x))'=-sin(x)$ ???

jarrro · 14. 02. 2015 11:25 — Editoval jarrro (14. 02. 2015 11:27)

geovektor napsal(a):
Hned vo vasom prvom prispevku ste uviedli: $(\sin^2x + \cos^2x)' = 0$ , tomuto trochu nerozumiem, nema to byt nahodou rovne jednicke?

Všimni si ten znak derivácie

geovektor napsal(a):
Dalej nerozumiem vo vasom stvrtom prispevku jednej vete, dovolim si vas citovat: pak další úpravou lze odvodit, že $\cos 2 < 0$ . Tomuto trosku nerozumiem ako to tak snadno je mozne ukazat.

dosdením do radu pre kosínus

A tiez by som sa chcel spytat ze vo vasom druhom prispevku ste napisali, opat citujem: Dále můžeme definovat $\sin x = - (\cos x)'$ Toto sme odvodili zo vztahu $(cos(x))'=-sin(x)$ ???

mysím, že Rumburak predpokladá, že nič okrem rozvoja kosínusu do taylorovho radu sa nepozná

Podľa mňa mal zadávateľ na mysli obyčajný priebeh funkcie s tým, že priebeh sínusu a vlastnosti čísla pi sú už známe
spýtaj sa zadávateľa či preibeh sínusu možno považovať za známy ak áno tak je to klasický prebeh funkcie teda nájdenie nulových bodov derivácie a kukanie kde derivácia je kladná a kde je záporná

geovektor1

Jarrro dakujem Vam za vase tri odpovede, pomohli ste mi pochopit vsetky tri otazky. Takze teraz sa pokusim zosumarizovat co vieme a idem nacrtnut moj prvy naznak dokazu, snad to nejako spolocne zvladneme.
Takze:

Ak to spravne chapem, tak vlastnosti ktore nebudeme dokazovat, ktore "vieme" su:
1, Sinus nadobuda kladne hodnoty na $(2k\pi ,\pi + 2k\pi)$
2, Sinus nadobuda zaporne hodnoty na $(\pi + 2k\pi , 2\pi + 2k\pi )$

3, Funkcia sinus je spojita

Z tohoto bezprostredne vypliva, ze hodnoty v krajnych bodoch su nulove. To je poznatok, ktory sme odvodili z predchadzajucich troch

Z podmienky 1, a derivacie vieme ze $x \in (2k\pi , \pi + 2k\pi )$ je $(cos(x))'=-sin(x) < 0$
Z podmienky 2, a derivacie vieme ze $x \in (\pi + 2k\pi , 2\pi + 2k\pi )$ je $(cos(x))'=-sin(x) > 0$

Dalej vieme, ze: $sin 0 = 0$ a $cos 0 = 1$
Vieme ze $(\sin^2x + \cos^2x)' = 0$ a z toho odvodime: $\sin^2x + \cos^2x = 1$

Dalej vieme ze $cos 0=1$ a tiez vieme ze cosinus je spojita funkcia takze musi existovat take $m$ ze funckia cosinus nadobuda na intervale $(0,m)$ a myslim ze aj na $(-m,0)$ kladne hodnoty.

Dalej polozime $\pi := 2m$ , to mozeme pretoze $cos 0 > 0$ a $cos 2 <0$ a plati bolzanova veta, takze musi existovat $t$ take ze $cos t=0$ a $t \in (0,2)$

Dalej pozname vztahy:

$\sin(-x) \equiv -\sin x , \cos(-x) \equiv \cos x$

a

$\sin(x + y) \equiv \sin x \cos y + \cos x \sin y , \cos(x + y) \equiv \cos x \cos y - \sin x \sin y$

a

$F(x, y) := [\sin(x + y) - (\sin x \cos y + \cos x \sin y)]^2 + [\cos(x + y) - (\cos x \cos y - \sin x \sin y)]^2$

Tu by som asi nejako takto zastal, priznam sa ze poslednemu vztahu nerozumiem, metie ma toto: $F(x, y) := ...$ co znamena ten vztah toho eFka s tymi x,y premennymi?

Rumburak

↑ geovektor1:

Shrnul bych to asi takto:

I. Základními vztahy jsou :

(1) $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\,\,x^{2n+1} , x \in \mathbb{R}$ ,

(2) $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}\,\,x^{2n} , x \in \mathbb{R}$ ,

(3) $\cos x = (\sin x)' , x \in \mathbb{R}$ ,

(4) $\sin x = -(\cos x)' , x \in \mathbb{R}$ .

Jako definice lze vnímat buďto vztahy (1), (2) (že obě řady v uvedeném rozsahu konvergují, by se muselo zdůvodnit)
a z nich odvodit (3), (4),
nebo vzít jako definice vztahy (1), (3) a z nich odvodit (2), (4) ,
případně vzít jako definice vztahy (2), (4) a z nich odvodit (1), (3).
Všechny tyto přístupy jsou ekvivalentní.

Odtud se odvozováním či dokazováním obdrží:

II. Funkce $\sin, \cos$ jsou v libovolném $x \in \mathbb{R}$ spojité a mají konečné derivace všech řádů.

III. Pro libovolné $x \in \mathbb{R}$ je

(5) $\sin(-x) = -\sin x , \cos(-x) = \cos x$ .

IV. Dosazením $x =0$ do (1), (2) dostáváme

(6) $\sin 0 = 0 , \cos 0 = 1$ .

V. Z (3), (4) plyne (podle vět o aritmetice derivací a o derivaci složené funkce) $(\sin^2 x + \cos^2 x)' = 0$ ,
takže funkce $x \mapsto \sin^2 x + \cos^2 x$ je konstantní , odtud a podle (6) pak

(7) $\sin^2 x + \cos^2 x = \sin^2 0 + \cos^2 0 = 1 , x \in \mathbb{R}$ .

VI. Úpravou vzorce (2) dostáváme

$\cos x = 1 - $\frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!}$ - $\frac{x^6}{6!} - \frac{x^8}{8!}$ - ... = 1 - \frac{x^2}{2!}$1 - \frac{x^2}{3\cdot 4}$ - \frac{x^6}{6!}$1 - \frac{x^2}{7\cdot 8}$ - ...$ ,

speciálně pro $x=2$ je

$\cos 2 = 1 - \frac{2^2}{2!}$1 - \frac{2^2}{3\cdot 4}$ - \frac{2^6}{6!}$1 - \frac{2^2}{7\cdot 8}$ - ...$ .

Snadno nahlédneme, že všechny uzávorkované výrazy v poslední nekonečné řadě představují kladná čísla, odtud

$\cos 2 < 1 - \frac{2^2}{2!}$1 - \frac{2^2}{3\cdot 4}$ = 1 - 2$1 - \frac{1}{3}$ = -1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} < 0$ .

O funkci $\cos$ tedy máme zjištěno, že je spojitá na intervalu $\langle 0, 2 \rangle$ , při čemž $\cos 0 > 0 > \cos 2$ .
Podle Bolzanovy věty tedy existuje $t \in (0, 2)$ takové, že $\cos t = 0$ . Kolik takových $t$ existuje, to B. věta naříká.
Avšak na základě spojitosti funkce $\cos$ lze dokázat, že mezi nimi existuje jedno takové, které je znich nejmenší.
Toto číslo označme $m$ .

VII. Takže na intervalu $(0, m)$ nabývá funkce $\cos$ pouze kladných hodnot. Tedy funkce $\sin$ má na tomto intervalu
kladnou derivaci ( $\cos$ ), proto je zde rostoucí a vzhledem ke spojitosti v nule (a hodnotě $\sin 0 = 0$ ) kladná.
Na uvedeném intervalu je $\cos$ naopak klesající (má zde zápornou derivac $-\sin$ ).
Pomocí vztahů (5) lze pak snadno rozhodnout o průběhu obou funkcí na intervalu $(-m, 0)$ . Pomocí spojitosti obou
funkcí můžeme učinit závěry o jejich průběhu na intervalu $\langle -m, m\rangle$ - na základě druhých derivací i pokud jde
o konvexnost resp. konkávnost.

Zbytek doplním později.

geovektor1 · 17. 02. 2015 19:45

tomuto zatial rozumiem, a aky zbytok chcete doplnit neskor? Toto nie je cely dokaz?

Rumburak

↑ geovektor1:

Zatím máme (alespoň v pricnipu) vyšetřen průběh funkcí $\sin, \cos$ pouze na inervalu $\langle -m, m\rangle$ .
K dalšímu budeme potřebovat vzorce pro součet argumentů, které ještě odvozeny nemáme. K tomu položme

$f(x) := \sin x \cos y + \cos x \sin y - \sin (x+y) ,\\ g(x) := \cos x \cos y - \sin x \sin y - \cos (x+y)$ ,

kde $x \in \mathbb{R}$ je funkční proměnná, zatímco $y \in \mathbb{R}$ prozatím vnímáme jako libovolnou, avšak pevně zvolenou
konstantu (abychom se vyhnuli teorii funkcí více proměnných). Snadno zjistíme, že $f' = g, g' = -f$ .
Odtud obdobně jako v IV. odvodíme, že $(f^2(x) + g^2(x))' = 0$ , takže $x \mapsto f^2(x) + g^2(x)$ je konstantní
funkce. Zřejmě $f(0) = g(0) = 0$ , takže $f^2(x) + g^2(x) \equiv 0$ a odtud $f(x) \equiv g(x) \equiv 0$ .
Tím jsou vzorce

$\sin (x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y ,\\ \cos (x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

dokázány. Dosazením $y = m$ máme

$\sin (x+m) = \sin x \cos m + \cos x \sin m = \cos x ,\\ \cos (x+m) = \cos x \cos m - \sin x \sin m = -\sin x$

(že $\sin m = 1$ plyne z předchozích výsledků) a odtud můžeme získat poznatky o průběhu funkcí $\sin, \cos$
na intervalu $\langle m, 2m\rangle$ atd.

Mimo to klademe $\pi := 2m$ .