Matematické Fórum

Sergejevicz

Nadhazuju tema o zakladnich limitach. Konkretne nadhazuju ty, ktere jsou soucasti definic nekterych elementarnich funkci.
$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ ,
$\lim_{x\to 0} \frac{\exp(x)-1}{x} = 1$ ,
$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(x+1)}{x} = 1$ .

jarrro · 29. 01. 2015 10:08 — Editoval jarrro (29. 01. 2015 10:09)

ako definuješ napríklad sínus? pri každej definícii čo som sa stretol (cez jednotkovú kružnicu, ako súčet nekonečného mocninového radu, ako imaginárna časť $\exp{$\mathrm{i}x$}$ )
sa to dá nie príliš zložito dokázať teda to nemôže byť "súčasť definície"

Eratosthenes · 29. 01. 2015 12:43

↑ jarrro:

Nezbytná součást definice je to v případě, definuješ-li sinus a kosinus axiomaticky.

jarrro · 29. 01. 2015 18:43

ale aké sú tie axiómy?

Brano · 29. 01. 2015 23:09

↑ Eratosthenes:
to je dost vagne vyjadrenie - nie je to nutna cast definicie ak ich (sin a cos) napr. definujes axiomaticky takto:

$u,v$ su spojite diferencovatelne a splnaju $u'=v$ , $v'=-u$ , $u$ je neparna a $v(0)=1$ .

cize musis povedat aku definiciu myslis.

byk7 · 30. 01. 2015 14:27

↑ Brano:

A je ta tvoje definice jednoznačná? (Já nevím, diferenciální rovnice řešit neumím, proto se ptám.)

Jinak Erathostenes má asi na mysli následující. Jarník dokazuje tuto větu:
Existuje právě jedna dvojice funkcí - označme ji $\big(\sin(x),\cos(x)\big)$ - které mají následující vlastnostosti:
(1) Jsou definovány pro všechna reálná x.
(2) Pro libovolná (reálná) x,y platí
$\cos(-x)&=\cos(x), \\ \sin(-x)&=-\sin(x), \\ \sin(x+y)&=\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x), \\ \cos(x+y)&=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y).$
(3) Existuje kladné číslo, označme ho $\pi$ , takové, že $\sin(x)$ je rostoucí na intervalu $\left\langle0,\tfrac{\pi}{2}\right\rangle$ a $\sin(0)=0,\sin$\tfrac{\pi}{2}$=1.$
(4) Platí $\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1.$

Vyhovující funkcemi jsou pak právě
$\sin(x):=\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\,,\,\cos(x):=\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\,.$

Eratosthenes · 30. 01. 2015 17:12

díky ↑ byk7:,

přesně to jsem měl na mysli. Definice ↑ Brano: je sice stručná a elegantní (jednoznačná asi je), ale potřebuje složitější pojmy - derivaci a spojitou diferencovatelnost, kdežto Jarníkovi stačí právě ta jedna limita.

Brano · 30. 01. 2015 18:11

↑ byk7:↑ Eratosthenes:
verim, ze je jednoznacna, ak som nieco neprehliadol, ale to nie je pointa, ani nejaka elegantnost nebola pointa - len som chcel poukazat na to, ze sa da definovat vselijak.

podla mna najelegantnejsia definicia je definovat ich splou s exp v komplexnej anlyze ako rady, ale zase to by bolo pedagogicky nestastne, lebo by sme mali prve dva rocniky analyzu bez prikladov ;)
takze definovat ich hned ako sa nam objavi pojem limity je velmi ziaduce

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2015 08:00 — Editoval Sergejevicz (29. 01. 2015 08:02)

zakladni limity

#2 29. 01. 2015 10:08 — Editoval jarrro (29. 01. 2015 10:09)

Re: zakladni limity

#3 29. 01. 2015 12:43

Re: zakladni limity

#4 29. 01. 2015 18:43

Re: zakladni limity

#5 29. 01. 2015 23:09

Re: zakladni limity

#6 30. 01. 2015 14:27

Re: zakladni limity

#7 30. 01. 2015 17:12

Re: zakladni limity

#8 30. 01. 2015 18:11

Re: zakladni limity

Zápatí