Matematické Fórum

geovektor

Ahojte, mam dokazat jedno tvrdenie:
Ak $A_{r}$ a $A_{s}$ su podpriestory $A_{n}$ s neprazdnym prienikom, tak ich prienik $Ar\cap As$ je afinny priestor so zameranim $Vr\cap Vs$ .
Poradite mi niekto ako na to prosim Vas?

Moj naznak dokazu:
Takze, Nech vektory $v_{1},v_{2},...v_{r}$ tvoria bazu $V_{r}$ a nech vektory $w_{1},w_{2},...w_{s}$ tvoria bazu $V_{s}$ Dalej nech $A$ je bod, ktory patri do $A_{r}$ a nech bod $B$ patri do $A_{s}$ . Potom plati ze vektor $A-B$ je linearnou kombinaciou vektorov $v_{1},v_{2},...v_{r}, w_{1},w_{2},...w_{s}$ .
Zatial spravne? je mozne toto vyuzit v dokaze?

Alebo nieco taketo:
Nech existuje vektor $\vec{u}$ ktory patri do $V_{s}$ a teda nepatri do $V_{r}$ a nech bod $B$ patri do $A_{r}$ .
Potom $B+\vec{u}$ ma zameranie $V_{r}\cap V_{s}$ pretoze $B$ je z $A_{r}$ ktoreho zameranie je $V_{r}$ a $\vec{u}$ patri do $V_{s}$

Je to moc odveci? Uvazoval som nad tym dost dlho.

Rumburak

Ahoj.

Předpokládejme, že $X := A_r\cap A_s \ne \emptyset$ . Existuje tedy bod $a\in X$ . Zvolme pevně takové $a$ .
Nechť obecně $x \in X$ . Potom

1) $x, a \in A_r$ , takže $x - a \in V_r$ , kde $V_r$ je zaměření prostoru $A_{r}$ .

Zkus pokračovat.

geovektor

Co je $X$ ?
Ako mozete tvrdit ze $x, a \in A_r$ ? Odkial to vieme?

Rumburak · 29. 01. 2015 11:31

↑ geovektor:

Označil jsem tak $A_r\cap A_s$ - viz první věta z mého příspěvku ↑ Rumburak:.

geovektor

Aha ok, uz to chapem, ale stale mi nie je jasne odkial vieme $a \in A_r$ ? Ved predsa $a$ patri do $X$ a kedze $X:=A_r\cap A_s$ tak nanajvis vieme ze $a$ patri alebo do $A_r$ alebo do $A_s$

Rumburak · 29. 01. 2015 11:40

↑ geovektor:

Když $x\in A_r\cap A_s$ , potom $x \in A_r \wedge x \in A_s$ (viz definice průniku)
a nutně tedy $x \in A_r$ .

Rumburak · 29. 01. 2015 11:42

↑ geovektor:
Nepleťme si průnik a sjednocení :-) .

geovektor

aha no jasne. Prepacte, pomylil som si pojmy. Takze skusim pokracovat:
Zvolme pevny bod $b$ , take ze $b \in X$ a teda $b \in A_{s}$ a kedze $x,b\in A_{s}$ potom $x-b\in V_{s}$
Pomoze nam to ? Alebo vyuzijeme skor fakt, ze body $x,a \in A_{s}$ ?

Rumburak · 29. 01. 2015 12:05

↑ geovektor:
Žádné $b \in X$ už nebudeme potřebovat, s prvky $a, x \in X$ bohatě vystačíme. Platí o nich

$a, x \in A_r$ a z toho plynoucí důsledek $x - a \in V_r$ ,

obdobně :

$a, x \in A_s$ a z toho plynoucí důsledek $x - a \in V_s$ .

Co říká výrok $x - a \in V_r \wedge x - a \in V_s$ ?

geovektor

hovori ze $x-a \in V_{r}\cap V_{s}$
takze sme to dokazali?

Rumburak · 29. 01. 2015 12:40

↑ geovektor:

Zatím jsme dokázali, že $X$ je podmnožinou jistého afinního prostoru $W$ , v němž leží bod $a$ a jehož zaměřením
je $V_{r}\cap V_{s}$ .

Měli bychom ještě dokázat opačnou inklusi, tedy vzít obecný bod $w \in W$ a ukázat, že $w \in X$ .

geovektor · 29. 01. 2015 12:41

a to sa ako urobi?

Rumburak · 29. 01. 2015 12:49

↑ geovektor:

Když $w \in W$ , kde $W$ je af. prostor, v němž leží náš bod $a$ a jehož zaměřením je $V_{r}\cap V_{s}$ , potom

$w = a + \vec{u}$ , kde $\vec{u} \in V_{r}\cap V_{s}$ . Z poslední posmínky plynou dvě věci ... .

geovektor

neviem, akosi sa nechytam.. co z toho plynie? ale ak tomu spravne rozumiem, tak musime dokazat ekvivalenciu, teda ze $X$ je podmnozinou $W$ a sucasne ze $W$ je podmnozinou $X$ ? A ak to dokazeme s oboch stran, tak potom nastava rovnost $X=W$ spravne?

Rumburak · 29. 01. 2015 13:32

↑ geovektor:

Ano, ta závěrečná úvaha je správná.

Nyni navažme na příspěvek ↑ Rumburak: .

Z podmínky $\vec{u} \in V_{r}\cap V_{s}$ plyne $\vec{u} \in V_{r}$ , tedy

(1) $w = a + \vec{u}$ , kde $\vec{u} \in V_{r}$ ,

zároveň analogicky platí

(2) $w = a + \vec{u}$ , kde $\vec{u} \in V_{s}$ .

Co odtud plyne o vztahu prvku $w$ k afinním proatorům $A_{r} , A_{s}$ , uvážíme-li, jak byl zvolen bod $a$ ?

geovektor

nie som si isty, ale myslim ze asi z toho plynie ze $w$ patri do $A_{r}\cap A_{s}$ ??

Rumburak

↑ geovektor:

Přesně tak, neboli $w\in X$ , protože podle našeho označení je $A_{r}\cap A_{s}= X$ .
Tím je dokázána ona obrácená inkluse.

geovektor

Takze ked to zhrnieme, cely dokaz do jedneho prispevku, tak to bude nejak takto vyzerat:

Predpokladajme, ze $X := A_r\cap A_s \ne \emptyset$ . Existuje teda bod $a\in X$ . Zvolme pevne taky bod $a$ .
Nech vseobecne $x \in X$ . Potom

1) $x, a \in A_r$ , takže $x - a \in V_r$ , kde $V_r$ je zameranie priestoru $A_{r}$ . Obdobne $a, x \in A_s$ a z toho plynoucí důsledek $x - a \in V_s$ . A z toho plynie: $x-a \in V_{r}\cap V_{s}$

2) Když $w \in W$ , kde $W$ je af. prostor, v němž leží náš bod $a$ a jehož zaměřením je $V_{r}\cap V_{s}$ , potom

$w = a + \vec{u}$ , kde $\vec{u} \in V_{r}\cap V_{s}$ . a z toho plynie: $w$ patri do $X$

Takto?

Rumburak · 29. 01. 2015 15:28

↑ geovektor:

Jen bych to mírně jinak uspořádal, ale není to dogma.

Predpokladajme, ze $X := A_r\cap A_s \ne \emptyset$ . Existuje teda bod $a\in X$ . Zvolme pevne taky bod $a$ .
Nechť $W$ je af. prostor, v němž leží bod $a$ a jehož zaměřením je $V_{r}\cap V_{s}$ .

1) Ukážeme, že $X \subseteq W$ .
Je-li $x \in X$ , potom $x, a \in A_r$ , takže $x - a \in V_r$ , kde $V_r$ je zameranie priestoru $A_{r}$ .
Obdobne $a, x \in A_s$ a z toho plynoucí důsledek $x - a \in V_s$ .
Celkem $x-a \in V_{r}\cap V_{s}$ , takže $x \in W$ .

2) Ukážeme, že $W \subseteq X$ .
Když $w \in W$ , potom $w = a + \vec{u}$ , kde $\vec{u} \in V_{r}\cap V_{s}$ . Máme tedy

a) $w = a + \vec{u}$ , kde $a \in A_r , \vec{u} \in V_{r}$ , tedy $w \in A_r$

a zároveň

b) $w = a + \vec{u}$ , kde $a \in A_s , \vec{u} \in V_{s}$ , tedy $w \in A_s$ ,

celkem $w \in A_r \cap A_s = X$ .

Závěr: $X=W$ .