Matematické Fórum

kreatura · 30. 01. 2015 08:43

Ahojte;

Zadanie:
Urcte pre aku hodnotu parametra $p\in\mathbb{R}$ ma rovnica $|x^{2}+x-6|-1=2p+3$ 0, 1, 2 alebo viac rieseni.

Zacal som to riesit... upravil som, co sa dalo na prvy pohlad:
$|(x+3)(x-2)|=2p+4$

Teraz by som chcel odstranit absolutnu hodnotu a vyjdu mi dve kvadraticke rovnice.
Problem je, ze tieto kvadraticke rovnice su platne len na urcitych intervaloch, pre ktore $(x+3)(x-2)$ maju kladnu, alebo zapornu hodnotu. Ako zaistim, ze korene x budu z tychto intervalov? Ci sa obavam zbytocne? Vzdy budu z tych intervalov? Pripadne by som to mal riesit inak?

Moje riesenie vyzera asi takto:

1. Ak $x \in (- \infty,-3) \cup (2, \infty )$ tak prva rovnica vyzera nejako takto: $x^{2}+x-2(p+5)=0$ .
Tato rovnica ma riesenie pre hodnoty $p\ge-\frac{41}{8}$ . (Diskriminant D je vtedy nezaporny).
Co s tym ale teraz, ked x musi byt z toho spominaneho intervalu $(- \infty,-3) \cup (2, \infty )$ ?

2. Ak $x\in(-3,2)$ , tak rovnica ma tvar $x^{2}+x-2(p+1)=0$ . Diskriminant je tu nezaporny pre $p\ge\frac{9}{8}$ .
Aj tu, co s tym, ked x musi byt z intervalu $(-3,2)$ ?

Ako sa riesi tento problem?
Bol by niekto ochotny mi to vysvetlit?

misaH · 30. 01. 2015 09:37 — Editoval misaH (30. 01. 2015 09:41)

↑ kreatura:

Riešila som graficky.

Graf tej absolútnej hodnoty je parabola, časť spod osi x sa preklopí nad os.

"Vrchol" je ľahko identifikovateľný.

Graf $y=2p+4$ je priamka rovnobežná s osou x, lebo 2p + 4 je číslo.

Pod osou x je riešení 0.

Na osi x sú 2 riešenia.

Nad osou po "vrchol" sú 4 riešenia.

Vo "vrchole" sú 3 riešenia.

Nad ním sú 2 riešenia.

Hodnota hraničného parametra sa zistí zo súradníc "vrcholu".

kreatura · 30. 01. 2015 10:35

Fiha. To je pekne, misaH. :) Dakujem. Ale ja riesenie som nepotreboval. Teda potreboval som, lebo mam vadnu knihu, ale predovsetkym sa chcem naucit riesit parametricke rovnice, lebo mi to nikdy neslo.
Takze keby to niekto vyriesil analiticky, pripadne len naznacil, ze ako sa to riesi analiticky, bol by som rad.

misaH · 30. 01. 2015 10:57

↑ kreatura:

Vieš, stačí vypočítať x v závislosti od parametra (normálne diskriminant ...) - a x ohraničiť príslušným intervalom, ak teda chceš.

O $p$ sa dá urobiť úvaha, ktorá vyjadrí, že 2p +4 musí byť vzhľadom na absolútnu hodnotu ľavej strany tiež nezáporné, aby rovnica mala riešenie.

kreatura · 30. 01. 2015 12:01

No, nic ine mi neostava. :)

Matematické Fórum

#1 30. 01. 2015 08:43

Parametricka rovnica (s absolutnou hodnotou)

#2 30. 01. 2015 09:37 — Editoval misaH (30. 01. 2015 09:41)

Re: Parametricka rovnica (s absolutnou hodnotou)

#3 30. 01. 2015 10:35

Re: Parametricka rovnica (s absolutnou hodnotou)

#4 30. 01. 2015 10:57

Re: Parametricka rovnica (s absolutnou hodnotou)

#5 30. 01. 2015 12:01

Re: Parametricka rovnica (s absolutnou hodnotou)

Zápatí