Matematické Fórum

Kája2 · 31. 01. 2015 18:51

Ahoj,
jak by se, prosím, dal odvodit rekuretní vztah pro součet k-tých mocnin prvních n přirozených čísel, tedy $S_{k}(n)= 1^{k}+2^{k}+\ldots +n^{k}$ ,pomocí čísel $S_{1}(n),\ldots ,S_{k-1}(n)$ .Budu rád za každou pomoc.

Pavel · 31. 01. 2015 20:27 — Editoval Pavel (31. 01. 2015 20:29)

↑ Kája2:

Není to těžké, je třeba si pohrát se sumami a binomickou větou. Doporučují začít takto:

$\sum_{i=1}^{n+1}i^{k+1}=\sum_{i=0}^n(i+1)^{k+1}=1+\sum_{i=1}^n(i+1)^{k+1}=\dots$

a na výraz $(i+1)^{k+1}$ použít binomickou větu.

Kája2 · 31. 01. 2015 20:38

↑ Pavel:
Tak teďka jsem trochu zmaten, jak na to.

Pavel · 31. 01. 2015 20:56 — Editoval Pavel (01. 02. 2015 09:32)

↑ Kája2:

Až použiješ binomickou větu, vzniknou Ti v sumě kromě jiného i výrazy $S_{0}(n),\ldots ,S_k(n)$ . A s tím už se dá dál pracovat.

Pokud stojíš pouze o výsledek, pak platí

$\sum_{m=0}^k\binom{k+1}{m}S_m(n)=(n+1)^{k+1}-1.$

Matematické Fórum

#1 31. 01. 2015 18:51

Odvození vzorce pro součet mocnin

#2 31. 01. 2015 20:27 — Editoval Pavel (31. 01. 2015 20:29)

Re: Odvození vzorce pro součet mocnin

#3 31. 01. 2015 20:38

Re: Odvození vzorce pro součet mocnin

#4 31. 01. 2015 20:56 — Editoval Pavel (01. 02. 2015 09:32)

Re: Odvození vzorce pro součet mocnin

Zápatí