Matematické Fórum

exe263 · 02. 02. 2015 23:25

Dobrý den, mám problém s řešením příkladu.
Zadání zní asi takto "Určete druhý kořen rovnice $8x\wedge 2 - 2x - 3 = 0$ , znáte – li její kořen $x1=3/4$ . Neřešte výpočtem rovnice, ale vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice."

Rozkladem na kořeny jsem se dostal k tomu, že požadovaný kořen je $-1/2$ , což je sice výsledek, ale ne správnou cestou.
Na internetu jsem našel další postup, který bohužel nechápu.
rovnici $8x\wedge 2 - 2x - 3 = 0$ zapíši jako $8x\wedge 2 +6x-4x-3=0$ .
z toho nějakým způsobem vyvodím součinový tvar rovnice $(2x+4)(4x-3)=0$ , kterému právě nerozumím :(

Neporadil by mi někdo?

Blackflower · 02. 02. 2015 23:45

↑ exe263: Ahoj,
keď vydelíš rovnicu koeficientom pri $x^2$ , čiže osmičkou, dostaneš toto:
$x^2-\frac14 x-\frac38=0$
Ak si označíme korene rovnice $x_1$ a $x_2$ , platia Viétove vzťahy:
$x_1x_2=-\frac38$ (absolútny člen v rovnici) - už z tohto ti to vyjde, ak $x_1$ poznáš
$x_1+x_2=-(-\frac14)=\frac14$ - koeficient pri $x^1$ , ale s opačným znamienkom

exe263 · 02. 02. 2015 23:53

Ahoj,
vůbec to nechápu :(

misaH · 03. 02. 2015 07:00 — Editoval misaH (03. 02. 2015 07:11)

↑ exe263:

Čo Ti ukázala Blackflower sa volá Viètove vzťahy.

Kvadratická rovnica s riešením napríklad 2 a 3 sa dá zapísať ako

$(x-2)(x-3)=0$

Keď roznásobíš, tak vidíš, že

$(x-2)(x-3)=x^2-2x-3x\color{red}+2\cdot3$

Takže "na konci" je súčin koreňov.
Týka sa to ale iba rovnice, ktorá má pri $x^2$ číslo 1.
Preto Blackflower najprv zadanú rovnicu vydelila, aby sa začínala $x^2$ .

U Teba je na konci zlomok $-\frac38$ .

Ak 1 koreň je $\frac34$ , stačí vyriešiť rovnicu $-\frac38=\frac34x_2$ .

exe263 · 03. 02. 2015 08:55

Super, díky moc za vysvětlení. :)

Blackflower · 03. 02. 2015 09:46

↑ misaH: Vďaka za doplnenie. :)
↑ exe263: Ja ešte dodám, že rozklad, ktorý si uviedol v prvom príspevku, dostaneš takto:
Máme korene $\frac34$ a $-\frac12$ , teda rozklad polynómu vydeleného osmičkou bude vyzerať takto: $\left(x+\frac12\right)\left(x-\frac34\right)$
Vynásobíme osmičkou:
$8\left(x+\frac12\right)\left(x-\frac34\right)$
Ak sa chceme zbaviť zlomkov, tak prvú zátvorku vynásobíme dvojkou a druhú štvorkou. Dostaneme:
$\left(2x+1\right)\left(4x-3\right)$ - ty máš v prvej zátvorke štvorku namiesto jednotky, asi preklep

Matematické Fórum

#1 02. 02. 2015 23:25

Druhý kořen rovnice

#2 02. 02. 2015 23:45

Re: Druhý kořen rovnice

#3 02. 02. 2015 23:53

Re: Druhý kořen rovnice

#4 03. 02. 2015 07:00 — Editoval misaH (03. 02. 2015 07:11)

Re: Druhý kořen rovnice

#5 03. 02. 2015 08:55

Re: Druhý kořen rovnice

#6 03. 02. 2015 09:46

Re: Druhý kořen rovnice

Zápatí