Matematické Fórum

Fobl · 03. 02. 2015 12:51

Dobrý den.
Potřeboval bych poradit, jak budu řešit příklady:
1) $x^{2}-xy'+y=2x$
2) $(2x+3)^{3}y'''+3(2x+3)y'-6y=0$
U 1. mě napadla myšlenka $D=b^{2}-4ac=x^{2}-4\cdot x^{2}\cdot 1=-3x^{2}$ $k_{1,2}=\frac{x\pm\sqrt{3} ix}{2x^{2}}$ $k_{2}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2x}$ $k_{1}=\frac{1-\sqrt{3}i}{2x}$ , což je asi nejspíš špatně.
U 2. si říkám, že se bude muset použít substituce nebo separace proměnných, ale říkám si, jak to použít.

Takjo · 03. 02. 2015 14:47

↑ Fobl:
Dobrý den,
ad 1) nejprve zkuste řešit jako homogenní diferenciální rovnici a pak použijte metodu variace konstanty

Fobl · 04. 02. 2015 12:46

Dobrý den.
ad 1) Takže příklad $x^{2}-xy'+y=2x$ si převedu na homogenní rovnici $y'=\frac{x^{2}+y^{2}-2x}{x}$ , ale potom si říkám jak postupovat dál.
ad2) si říkám, že se bude muset použít substituce nebo separace proměnných, ale říkám si, jak to použít.

Takjo · 04. 02. 2015 13:26

↑ Fobl:
Dobrý den,
ad 1) $xy^{'}-y=x^{2}-2x$
anulujete pravou stranu a řešíte: $xy^{'}-y=0$ atd... :)

Fobl · 05. 02. 2015 01:42 — Editoval Fobl (05. 02. 2015 12:55)

Dobrý den.
Koukám, že v příkladu 1 mám překlep v zadání. Mělo tam být
$x^{2}y''-xy'+y=2x$
Wolfram alpha mi ukázal výsledky:
u 1. příkladu $y(x)=c_{1}x+c_{2}x\ln x+x\ln^{2} x$
a u 2. příkladu $y(x)=c_{2}\sqrt{(2x+3^{3}}+c_{3}(2x+3)+c_{1}\sqrt{2x+3}$

jelena · 06. 02. 2015 00:32

Zdravím,

↑ Fobl: jak jsme spolu četli v jiném tématu váš materiál, tak zkus v něm nalistovat kapitolu 10.6 a část "Eulerova rovnice", mělo by jít použit.

Fobl · 08. 02. 2015 23:32 — Editoval Fobl (10. 02. 2015 14:30)

Dobrý den.
Zkoušel jsem řešit příklad, levá strana mi vychází, ale pravá ne.
$x^{2}y''-xy'+y=2x$
$y(k)=x^{\lambda }, y'=\lambda x^{\lambda -1}, y''=\lambda (\lambda -1)x^{\lambda -2}$
$x^{2}\lambda (\lambda -1)x^{\lambda -2}-x\lambda x^{\lambda -1}+x^{\lambda }=0$
$\lambda ^{2}-\lambda -\lambda +1=0$
$\lambda ^{2}-2\lambda +1=0$
$D=4-4\cdot 1\cdot 1=0$
$\lambda _{1,2}=1$
$y_{1}(k)=x^{\lambda }, y_{2}=x^{\lambda }\ln x$
$y(k)=c_{1}x+c_{2}x\ln x$
Pravou jsem počítal
$y(p)=A\cdot e^{px}\cdot x^{r}=A\cdot e^{0}\cdot x^{0}=A$
$y(p)'=0$ a $y(p)''=0$
Tím pádem mně vychází po dosazení do levé strany A=2x, což je špatně.
Wolfram alpha ukazuje výsledek $y(k)=c_{1}x+c_{2}x\ln x+x\ln ^{2}x$

jelena · 10. 02. 2015 11:02 — Editoval jelena (10. 02. 2015 12:02)

↑ Fobl:

k 1. úloze je zas překlep v zadání (má být $x^{2}y''-xy'+y=2x$ ), ale řešeno je se správným zadáním. Další pokračování by mohlo být variaci konstant, nebo pokud pokud chceš využit tvar pravé strany, tak se zkus podívat na sestavení odhadu řešení - Odkaz tohoto typu.

k 2. úloze - ve scanu 3. derivace má být $y'''=\lambda(\lambda-1)(\lambda-2)t^{\lambda-3}$ - souhlasí? Potom se podíváme, jak to dopadne.

Jinak v tématu má být jen jedna úloha viz pravidla, neb je potom více přehledné. Případně odděl jednu rovnici do samostatného tématu (s využitím všech dosavadních kroků a oprav). Děkuji.

Fobl · 10. 02. 2015 14:54

Dobrý den.
V 1. úloze jsem opravil chybu v zadání, aby to nemátlo.
2. úlohu oddělím do nového tématu, aby v tom nebyl hokej.
Zkusim se na to ještě podívat.

Fobl · 17. 02. 2015 19:12

Dobrý den.
Nevím, jestli to chápu dobře. Zkoušim postupovat takto:
$y^{0}=2x\lambda x^{\lambda +1}$
$2\lambda =0$
$\lambda =0$
Tudíž $y(p)=x^{\lambda +1}\ln ^{2}x=x\ln ^{2}x$
a výsledek vychází
$y(x)=y(k)+y(p)=c_{1}x+c_{2}x\ln x+x\ln ^{2}x$
Jde mi o to, jestli jsem postupoval správně, nebo jestli se došlo ke správnému výsledku souhrou náhod.
Děkuji.

jelena · 18. 02. 2015 22:11

Zdravím,

děkuji za to další téma. Zde trošku zrekapituluji. Řešili jsme $x^{2}y''-xy'+y=2x$ ,
kořen charakteristického polynomu $\lambda _{1,2}=1$ je reálný dvojnásobný.
obecné řešení $y(k)=c_{1}x+c_{2}x\ln x$ , pro partikulární využijeme pravou stranu $=2x$ hledáme řešení ve tvaru (20) věta 7.

$\lambda=\alpha+\beta \mathrm{i}=1$ , násobnost kořene $k=2$ , $\alpha=1$ , $\beta=0$ , $q_1(ln|x|)=2$ polynom stupně 0, proto $y(p)=Ax^{1}\ln ^{2}x=Ax\ln ^{2}x$ .

teď obdobně, jak v předchozím "dlouhém tématu", uděláš 2 derivace, dosadíš do $x^{2}y''-xy'+y=2x$ a najdeš koeficient A. Tuto metodu jsem tak nechala, abychom zůstali u techniky odkazu, co máme v tématu (a tvaru kořene $y(k)=x^{\lambda }$ .

Jiný postup (substituce $x=e^t$ ) je v odkazu jen naznačen, ale podrobněji ho také najdeš, např. zde.

Možná ještě upřesní, prosím, tuto techniku (stačí odkaz):