Matematické Fórum

Quimby · 05. 02. 2015 22:49

Ahoj, když jsme brali tečny k různým křivkám, tak se vždy odvozovali z obecné rovnice

například kružnice
$x^{2}+y^{2}+4x+4y=0$
a tečna k této kružnici by byla
$x.x_{0}+y.y_{0}+2x+2x_{0}+2y+2y_{0}=0$

No a moje otázka zní proč? Proč se to dá tahle hezky rozdělit a vyjde to, z čeho je to odvozený?
Snažil jsem se hledat, ale nacházelo mi to jen derivace, což nechci. Děkuju za informace :)

Freedy · 05. 02. 2015 23:27

Ahoj,

dá se to odvodit například z té obecné rovnice.
Rovnice tečny ke kružnici k (analogický postup u všech kuželoseček) ve tvaru:
$(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$
je $(x-m)(x_0-m)+(y-n)(y_0-n)=r^2$
po roznásobení dostáváš:
$xx_0-(x+x_0)m+m^2+yy_0-(y+y_0)n+n^2=r^2$
$xx_0-(x+x_0)m+yy_0-(y+y_0)n=r^2-m^2-n^2$
což je tvar, do kterého lze převést každou kružnici. U hyperboly,paraboly, elipsy obdobně

Quimby · 06. 02. 2015 06:45

Ahpj, děkuju za reakci, ale asi sem se špatně vyjádřil. Já to umím i u středových tvarů, ale mě zajímá ten princip proč když nahradím jedno X a Y za body dotyku, tak dostanu tečnu. Proč to funguje, proč nedostanu třeba normálu nebo něco nesmyslnýho?

Takjo · 06. 02. 2015 09:26

↑ Quimby:
Dobrý den,
zkuste se podívat na tento web: http://www.realisticky.cz/hodina.php?id=963

Jj · 06. 02. 2015 09:38 — Editoval Jj (06. 02. 2015 09:44)

↑ Quimby:

Dobrý den.

Pro jednoduchost např. tečna kružnice $x^2+y^2=r^2$ v jejím bodě x0, y0:

Rovnice svazku přímek v bodě x0, y0: $y - y_0 = k(x-x_0)$ , derivace rovnice kružnice v bodě x0, y0 $-\frac{x_0}{y_0}=k$

$\Rightarrow y - y_0 = -\frac{x_0}{y_0}(x-x_0)\Rightarrow xx_0+yy_0=r^2$

Edit - zase pozdě, ale už to nechám.

Edit_1 - ještě doplním pro zajímavost:

Stejnou rovnici má tzv. polára kružnice vzhledem k bodu A mimo kružnici - je to přímka, která prochází body dotyku tečen vedených ke kružnici z bodu A. Nalezením jejich průsečíků s kružnicí tudíž nalezneme oba body dotyku tečen spuštěných na kružnici z bodu A.