Matematické Fórum

Jaros · 27. 04. 2009 09:27

Ahoj mohl by mi někdo poradit s příkladem: Do elipsy o poloosách a,b vepište obdélník největšího obsahu. Vubec nevím jak začít. Díky

Rumburak

Začal bych tím, že bych elipsu pomyslně umístil do kartéské soustavy souřadnic tak, aby měla rovnici $(\frac {x}{a})^2 + (\frac {y}{b})^2 = 1$ .
Je-li A=[x,y] jejím bodem různým od jejícho vrcholu, pak body [x,-y], [-x,y],[-x,-y] spolu s bodem A představují vrcholy obdélníka
vepsaného do elipsy, přičemž každý obdélník vepsaný do elipsy lze získat tímto způsobem.
Zvolme bod A=[x,y] uvažované elipsy tak, aby se navházel v I. kvadravtu, tj, obě jeho souřadnice jsou kladné. Je-li dána jeho souřadnice x,
pak z rovnice elipsy lze vyjádřit jeho druhou souřanici vzorcem $y=b\,\sqrt{1-(\frac {x}{a})^2 }$ . Je zřejmé, že obsah odélníka vepsaného do elipsy
a určeného vrcholem A je roven $S(x) = 4xy=4bx\,\sqrt{1-(\frac {x}{a})^2 }$ . Nyní se vypočítá maximum této funkce na intervalu <0,a>.

Poznámka. Místo navržené metody lze použít tzv. metodu Lagrangeova multiplikátoru - snad se o ní dá někde něco najít.

Jaros · 27. 04. 2009 12:29

Takze ted spocitam limity pro x jdouci k 0 a x jdouci k a?

ttopi · 27. 04. 2009 12:41

↑ Jaros:
Žádné limity. Uděláš 1.derivaci a tu pak položíš rovnu 0. Pokud ti vyjde x více, dosaď a zjisti, které je nejvhodnější (může ti totiž vylézt i minimum funkce, což je zde nežádoucí).

Rumburak

Obecná věta o extrémech funkce říká shruba toto:

Funkce f může mít v bodě w intervalu J, v němž je definována, extrém jedině tehdy, pakliže nastane některá z následujících situací:
1. Bod w je krajním bodem intervalu J, na kterém nás funkce zajímá.
2. V bodě w neexistuje derivace fce f.
3. V bodě w existuje defivace f '(w) fce f a platí f '(w) = 0 .

Pro naší funkci S odpadá možnost 2 (fce S má derivaci v každém vnitřním bodě uvažovaného intervalu).
V krajních bodech 0 , a je S(0) = S(a) = 0 , takže zde maximum zřejmě také nebude (je zde minimum).
Zbývá případ S'(w) = 0 , tj. derivace fce S v bodě w je nula.
Tedy zderivujeme fci S, vyřešíme rovniici S'(w) = 0 a mezi body 0,a, w najdeme ten, kde je S(x) pro x element {0,a,w} největší.
(kdyby rovnice S'(w) = 0 měla více než jedno řešení, musíme prozkoumat všechna.)
Využíváme větu, že spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá svého maxima. (Na otevřeném intervalu tomu tak být nemusí.)

Jaros · 27. 04. 2009 13:03

Jo dobře díky ta derivace vypada celkem slozite tak si to necham na vecer.

Jaros · 27. 04. 2009 20:10

takze jsem polozil tu derivaci rovnu 0 a vyšlo mi ze x=(a^2/2)^1/2 . To je to globalní maximum?

kaja(z_hajovny)

↑ Jaros:
daji se take pouzit polarni souradnice (pokud umime rovnici elipsy), potom $S=4\,a\,b\,\cos\varphi\,\sin\varphi=2\,a\,b\,\sin(2\varphi)$
$\varphi$ mame na intervalu $\left[0,\frac \pi2\right]$ takze to maximum se da najit i nakreslenim grafu funkce sin(2x) a maximum je pro $\varphi_0=\frac \pi 4$ .
potom optimalni x je $x=a\,\cos\varphi_0=a\frac{\sqrt 2}{2}$

to posledni je totez co Vas vysledek.

↑ Rumburak:
a obsah je nejvetsi, pokud je druha mocnina obsahu co nejvetsi, takze se da hleda maximum funkce $S^2(x) = 16 b^2 x^2 \,\left(1-(\frac {x}{a})^2\right)$

Pokud na vodorovnou osu vynasim x^2, tak mam rovnici paraboly vrcholem nahoru, koreny jsou x^2=nula a x^2=a^2, v pulce je vrchol, tj $x_{\text{max}}^2=\frac 12 a^2$ a odmocnenim dostaneme zase nas znamy vysledek.

neco podobneho se delalo i na http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=2730 v prispevku #9

Rumburak · 28. 04. 2009 09:27

↑ kaja(z_hajovny):Výborný postřeh! Možnost substituovat za x^2 novou proměnnou mi také probleskla hlavou,
ale nedotáhl jsem ji do konce - nenapadlo mne, že to bude takto jednoduché.

Jaros · 28. 04. 2009 11:48

Takze je ten muj vysledek dobre jo?

Rumburak

Pokud je tím míněno $x = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ , pak ano, to je správný výsledek, v tomto bodě fce S nabývá globálního maxima.
Toto maximum pak je rovno $S(a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ , což nutno dopočítat, pokud to úloha požaduje.

Jaros · 28. 04. 2009 15:31

Tak mi to teda nevyšlo. Mě to vyšlo tak: $x_{\text{max}}^2=\frac 12 a^2$

Chrpa · 28. 04. 2009 15:38

↑ Jaros:
Čili:
$x=\frac{a\sqrt 2}{2}$

Jaros · 28. 04. 2009 15:41

To je jako to samo jo? Tak to sem fakt guma protoze nevim jak jsi na to prisel!

Jaros · 28. 04. 2009 15:43

Jo dobry uz vim...

Jaros · 28. 04. 2009 15:52

A ted abych zjistil ten obsah tak dosadím to maximum do te původní rovnice S(x) = 4xy=4bx\,\sqrt{1-(\frac {x}{a})^2 } ?

Rumburak

Ano, viz můj příspěvek č.11.

Jaros · 28. 04. 2009 16:05

↑ Rumburak: dobře tak díky

jelena · 29. 04. 2009 11:10

Zdravím vás :-)

uvažuji, že půjdu k informatikům - budu informovat, co se už řešilo:

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=2077

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=2886

-----------------
"Ba ne, já hledám celer. Někam se zakutálel", řekla tiše.

Rumburak · 30. 04. 2009 10:54

↑ jelena: Ahoj, já se k informatikům (alespoň v rámci tohoto fora) nedám, protože raději řeším, než prohledávám.
Tímto postojem ale nijak nechci zpochybnit užitečnost informatiků :-).

Matematické Fórum

#1 27. 04. 2009 09:27

Globální extrém

#2 27. 04. 2009 12:01 — Editoval Rumburak (27. 04. 2009 12:50)

Re: Globální extrém

#3 27. 04. 2009 12:29

Re: Globální extrém

#4 27. 04. 2009 12:41

Re: Globální extrém

#5 27. 04. 2009 12:49 — Editoval Rumburak (27. 04. 2009 13:44)

Re: Globální extrém

#6 27. 04. 2009 13:03

Re: Globální extrém

#7 27. 04. 2009 20:10

Re: Globální extrém

#8 27. 04. 2009 21:31 — Editoval kaja(z_hajovny) (27. 04. 2009 22:04)

Re: Globální extrém

#9 28. 04. 2009 09:27

Re: Globální extrém

#10 28. 04. 2009 11:48

Re: Globální extrém

#11 28. 04. 2009 12:16 — Editoval Rumburak (28. 04. 2009 12:21)

Re: Globální extrém

#12 28. 04. 2009 15:31

Re: Globální extrém

#13 28. 04. 2009 15:38

Re: Globální extrém

#14 28. 04. 2009 15:41

Re: Globální extrém

#15 28. 04. 2009 15:43

Re: Globální extrém

#16 28. 04. 2009 15:52

Re: Globální extrém

#17 28. 04. 2009 16:01 — Editoval Rumburak (28. 04. 2009 16:02)

Re: Globální extrém

#18 28. 04. 2009 16:05

Re: Globální extrém

#19 29. 04. 2009 11:10

Re: Globální extrém

#20 30. 04. 2009 10:54

Re: Globální extrém

Zápatí