Matematické Fórum

Oso · 01. 03. 2015 12:20

Zadání příkladu je: Jakou práci vykoná jeřáb, který zvedne rovnoměrným pohybem z vody železobetonový pilíř válcového tvaru o výšce 2 m a obsahu podstavy 0,8 $m^{2}$ ? Pilíř byl původně horní podstavou těsně pod hladinou vody a byl vyzvednut tak, že dolní podstava zůstala těsně nad hladinou vody. Hustota železobetonu je 2800 $\frac{kg}{m^{2}}$ .

Práce se tedy vypočte jako $W= F\cdot s$ , kde s je 2m. Síla je vyjádřena jako $F= F_{t}- F_{vz}$ , kde $F_{t}$ je tíhová síla tělesa ( $m\cdot g$ ) a $F_{vz}$ vztlaková síla ( $F_{vz}= V\cdot \varrho \cdot g$ ).

Nevím ale, co právě s danou vztlakovou silou, která se při každém posunu tělesa nad hladinu zmenšuje (kdežto tíhová síla zůstává stejná).

Pokud někdo víte, co s tím dále, budu vám moc vděčná za rady. :)

vulkan66 · 01. 03. 2015 12:43

↑ Oso:

Ahoj,
práce, kterou jeřáb vykoná se spočítá jako $W=\int_{x_{1}}^{x_{2}}Fdx$ .
Dokážeš najít vztah, který říká, jak se mění vztlaková síla v závislosti na výšce vytažení?

Oso · 01. 03. 2015 12:50

↑ vulkan66: A nemá být ted u vzorečku ještě krát s? O takovém vztahu bohužel právě nevím (a přijde mi podivné, že bych něco takového dostala k řešení)..

vulkan66 · 01. 03. 2015 13:01

↑ Oso:

Nemá, obecný vzorec pro práci je $W=\int_{x_{1}}^{x_{2}}Fdx$ . $W=F\cdot s$ platí pouze v případě, kdy je síla konstantní a to tu neplatí. Bohužel to jednodušeji spočítat nejde.

Pro náš případ platí obecně: $F_{vz}=V_{ponorena}\cdot \varrho _{v}\cdot g$ , abychom mohli integrovat, potřebujeme závislost na výšce, takže upravíme na $F_{vz}=S\cdot x\cdot \varrho _{v}\cdot g$
Dosadíme do integrálu a máme $W=\int_{x_{1}}^{x_{2}}S\cdot x\cdot \varrho _{v}\cdot gdx=S\cdot \varrho _{v}\cdot g\int_{0}^{h}xdx$
Dále zkus sama.

Oso · 01. 03. 2015 13:14

Jo takhle! :) Moc děkuji, myslím, že teď už dobré.

Brzls · 01. 03. 2015 16:09

↑ vulkan66:
↑ Oso:

Čau
1. Při tom integrování tam chybí ta tíhová síla, ale ok to už není takový problém tam přidělat, platí
$W=m_{beton}gh-S\cdot \varrho _{v}\cdot g\int_{0}^{h}xdx$

2. Že to jednodušeji nejde?

a) zřejmě platí zákon zachování energie.
b) zřejmě je nádrž vody natolik veliká, že když ten pilíř vytáhneme, tak pokles hladiny je zanedbatelný
c) Vodu a pilíř můžeme vnímat jako dva rozlišitelné objekty
d) Jestliže se pilíř zvedne o h, tak mu vzroste potenciální energie o $E_{1}=mgh$
teď zbývá vyřešit co se stane s vodou
e) jelikož vodu považujeme za ideální kapalinu, tak nás nezajímá co se děje s vodou během vytahování, zajímá nás až její konečný stav. Dokonce nás ani nezajímá jak se do tohoto stavu dostala, jelikož jediné síly které uvažujeme jsou gravitační

f) jeden způsob jak si to lze představit je ten, že napřed máme ve vodě pilíř. Ten vytáhneme, a to místo které po něm zůstane zaplní voda, která před tím byla (v úzké vrstvičce) na hladině. To znamená, že zbytek částic nezměnil svojí polohu, tedy ani svojí energii
h) vůbec nás nezajímá, že to takhle ve skutečnosti nebylo, neboť na základě předchozích úvah víme, že výsledek bude stejný
i) Pokles energie vody je tím pádem $E_{2}=\varrho _{2}Vg\frac{h}{2}$
j) vykonaná práce je tedy $W=E_{1}-E_{2}$

zbytečně do detailů jsem to rozepisoval, ale chtěl jsem aby všechny kroky byly jasné. Neměl by být problém ukázat, že to platí pro libovolné těleso (i když jsem to nezkoušel). Je to sice těžší v tom na tuto myšlenku přijít, ale výpočet je potom už triviální

Loni byl podobný příklad v celostátním kole FO (akorát se vytahoval jehlan a bylo tam pár otázek navíc), autorské řešení také využívá zachování energie. Já to teda tenkrát taky radši integroval, ale tenhle trik je holt prostě míň pracnější

vulkan66 · 01. 03. 2015 16:57

↑ Brzls:

1. Ano, chtěl jsem jen určit práci vykonanou vztlakovou silou, tíhová už je jednoduchá.

2. Tak to mě opravdu nenapadlo :)

Oso · 01. 03. 2015 17:01

Tíhovou jsem započíst nezapomněla, ale za výpočet přes energie moc děkuji. Asi to více odpovídá středoškolské úrovni, na kterou to nejspíš mělo být stavěno. :)

vulkan66 · 01. 03. 2015 17:10

↑ Oso:

Jestli je to středoškolská úloha, tak určitě ano. To jsi ale nezmínila :) Já to přeš zákon zachování energie nikdy nepočítal a pro mě je to pracnější než si to "jednoduše" zintegrovat.

Oso · 01. 03. 2015 17:16

Ono u naší paní učitelky je občas těžko poznat, jakou úroveň to mít má. :) Moc vám oboum děkuji za spolupráci a čas! :)

Matematické Fórum

#1 01. 03. 2015 12:20

Práce, vztlaková síla kapaliny

#2 01. 03. 2015 12:43

Re: Práce, vztlaková síla kapaliny

#3 01. 03. 2015 12:50

Re: Práce, vztlaková síla kapaliny

#4 01. 03. 2015 13:01

Re: Práce, vztlaková síla kapaliny

#5 01. 03. 2015 13:14

Re: Práce, vztlaková síla kapaliny

#6 01. 03. 2015 16:09

Re: Práce, vztlaková síla kapaliny

#7 01. 03. 2015 16:57

Re: Práce, vztlaková síla kapaliny

#8 01. 03. 2015 17:01

Re: Práce, vztlaková síla kapaliny

#9 01. 03. 2015 17:10

Re: Práce, vztlaková síla kapaliny

#10 01. 03. 2015 17:16

Re: Práce, vztlaková síla kapaliny

Zápatí