Matematické Fórum

terezkaaaaa5 · 07. 03. 2015 22:26

Dobrý den, pomůžete mi prosím s tímto příkladem?

Mám zjistit, zda-li jsou lineárně závislé funkce f1 (x) = $\mathrm{e}^{3x}$ a f2 (x) = $\mathrm{e}^{5x}$ .

Vím, že funkce jsou lineárně závislé, pokud $\alpha \cdot \mathrm{e}^{3x}+\beta \cdot \mathrm{e}^{5x}=0$ . Ale dál už si rady nevím. Předem díky za pomoc.

misaH · 07. 03. 2015 22:32

↑ terezkaaaaa5:

Podľa mňa tá definícia závislosti dvoch vektorov je nesprávna.

terezkaaaaa5 · 07. 03. 2015 22:51

↑ misaH:

Je možné, že jsem popletla i toto.

jelena · 08. 03. 2015 08:33

Zdravím,
↑ terezkaaaaa5: spíš jsi nedopsala předpoklad ověření. Sestavila jsi lineární kombinaci funkcí $\alpha \cdot \mathrm{e}^{3x}+\beta \cdot \mathrm{e}^{5x}=0$ (a položila jsi tuto lineární kombinaci rovnou 0) a "vím, že funkce jsou lineárně závislé, pokud" tato lineární kombinace bude platná pro která $\alpha$ a $\beta$ ? Děkuji.

terezkaaaaa5 · 08. 03. 2015 09:28

↑ jelena:

Že $\alpha$ nebo $\beta$ bude nenulové

jelena · 08. 03. 2015 09:29

↑ terezkaaaaa5: ano, přesně tak.

terezkaaaaa5 · 08. 03. 2015 09:48

↑ jelena:

A jak prosím postupovat dál? :)

jelena · 08. 03. 2015 10:24

↑ terezkaaaaa5:

vyřešit rovnici $\alpha \cdot \mathrm{e}^{3x}+\beta \cdot \mathrm{e}^{5x}=0$ , nejlépe úpravou na součin po vytknutí $\mathrm{e}^{3x}$ .

terezkaaaaa5 · 08. 03. 2015 10:49

Po vytknutí $\mathrm{e}^{3x}$ mi zbude z prvního členu $\alpha$ a z druhého $\beta \cdot \mathrm{e}^{2x}$ . Takže $\mathrm{e}^{3x}\cdot (\alpha +\beta \cdot \mathrm{e}^{2x})=0$ ?

Moc se mi to nezdá, ale nevím, kde mám chybu.

jelena · 08. 03. 2015 11:19

↑ terezkaaaaa5:

mně se to zdá v pořádku, pokračuješ, že $\mathrm{e}^{3x}$ není nulové pro žádné x, proto dořešíš rovnici $\alpha +\beta \cdot \mathrm{e}^{2x}=0$ , hledáš parametry $\alpha$ , $\beta$ .

terezkaaaaa5 · 08. 03. 2015 11:30

↑ jelena:

Díky. $\mathrm{e}^{2x}$ není také nulové pro žádné x. Těch kombinací, kdy $\alpha +\beta =0$ je ale podle mě nespočet.

misaH · 08. 03. 2015 11:55 — Editoval misaH (08. 03. 2015 11:56)

↑ terezkaaaaa5:

Ale to nevychádza, že sa má niečomu rovnať alfa+beta.

To by tam musela byť zátvorka.

$\alpha +\beta \cdot \mathrm{e}^{2x}=0$

$\beta \cdot \mathrm{e}^{2x}=-\alpha$

a tak ďalej

terezkaaaaa5 · 08. 03. 2015 12:08

↑ misaH:

Díky. I tak ale nevím jak dojít ke konkrétním parametrům. Dále vydělím $\beta$ a vznikne: $\mathrm{e}^{2x}=\frac{-\alpha }{\beta }$ . $\mathrm{e}^{2x}$ je vždy kladné, takže aby rovnice platila, musí buď $\alpha$ nebo $\beta$ být záporné.

jelena · 08. 03. 2015 12:51

↑ terezkaaaaa5:

vydělit můžeš až při nenulové $\beta$ . Proto začneš se situaci, že $\beta=0$ (ještě před dělením), jaká je $\alpha$ ? Potom budeš pokračovat pro nenulové $\beta$ .

terezkaaaaa5 · 08. 03. 2015 12:57

↑ jelena:

Pokud je $\beta$ = 0, pak i $\alpha$ = 0. Pokud je $\beta$ kladné, pak $\alpha$ je záporné a naopak, pokud je $\beta$ záporné, pak $\alpha$ je kladné. Je tomu tak?

jelena · 08. 03. 2015 13:40

↑ terezkaaaaa5:

Pokud je $\beta$ = 0, pak i $\alpha$ = 0.

ano, to jedna platná dvojice $\alpha$ , $\beta$ .

Další povídání není chybné, ale není dost průhledné pro úlohu. Měli bychom prokázat, že jde najít (nebo to nejde) další dvojicí $\alpha$ , $\beta$ , která bude splňovat rovnost $\alpha +\beta \cdot \mathrm{e}^{2x}=0$ a zároveň nebude závislá na x (jelikož hledáme parametry). Můžeme postupovat obdobně jako při sestavení předpisu lineární funkce ze dvou bodů (to si vybavíš ze ZŠ), zde také: sestavíme 2 rovnice pro různé hodnoty x (např. x=0, x=1), měli bychom mít jen jeden předpis funkce $\alpha +\beta \cdot \mathrm{e}^{2x}$ (funkční hodnota je pro každý bod nulová).

Máme soustavu:
$\alpha +\beta \cdot \mathrm{e}^{2\cdot 0}=0$
$\alpha +\beta \cdot \mathrm{e}^{2\cdot 1}=0$

Zkus tuto soustavu vyřešit a udělat závěr, děkuji

terezkaaaaa5 · 08. 03. 2015 13:50

Z první rovnice mi vyjde $\alpha +\beta =0$ Z této rovnice vyjádřím $\beta =-\alpha$ a dosadím do druhé rovnice. Vytknu $\alpha$ a vyjde mi: $\alpha (1-\mathrm{e}^{2})=0$ . A rovnice je splněna pokud $\alpha =0$

terezkaaaaa5 · 08. 03. 2015 16:44

Je to takto správně? A jak dál prosím? :)

jelena · 08. 03. 2015 22:20

↑ terezkaaaaa5:

takže vyšlo, že rovnice $\alpha \cdot \mathrm{e}^{3x}+\beta \cdot \mathrm{e}^{5x}=0$ je splněna pouze pro nulové $\alpha$ a $\beta$ (předpokládám, že jsi dořešila i závěr soustavy pro $\alpha =0$ , dosazuješ do $\beta =-\alpha$ , odkud $\beta =0$ ). Nenašli jsme žádnou kombinaci koeficientů, aby alespoň jeden byl nenulový. Z toho už můžeš udělat závěr o lineární závislosti zadaných funkcí.

V pořádku? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 07. 03. 2015 22:26

Lineární závislost vektorů

#2 07. 03. 2015 22:32

Re: Lineární závislost vektorů

#3 07. 03. 2015 22:51

Re: Lineární závislost vektorů

#4 08. 03. 2015 08:33

Re: Lineární závislost vektorů

#5 08. 03. 2015 09:28

Re: Lineární závislost vektorů

#6 08. 03. 2015 09:29

Re: Lineární závislost vektorů

#7 08. 03. 2015 09:48

Re: Lineární závislost vektorů

#8 08. 03. 2015 10:24

Re: Lineární závislost vektorů

#9 08. 03. 2015 10:49

Re: Lineární závislost vektorů

#10 08. 03. 2015 11:19

Re: Lineární závislost vektorů

#11 08. 03. 2015 11:30

Re: Lineární závislost vektorů

#12 08. 03. 2015 11:55 — Editoval misaH (08. 03. 2015 11:56)

Re: Lineární závislost vektorů

#13 08. 03. 2015 12:08

Re: Lineární závislost vektorů

#14 08. 03. 2015 12:51

Re: Lineární závislost vektorů

#15 08. 03. 2015 12:57

Re: Lineární závislost vektorů

#16 08. 03. 2015 13:40

Re: Lineární závislost vektorů

#17 08. 03. 2015 13:50

Re: Lineární závislost vektorů

#18 08. 03. 2015 16:44

Re: Lineární závislost vektorů

#19 08. 03. 2015 22:20

Re: Lineární závislost vektorů

Zápatí