Matematické Fórum

juraj1 · 12. 03. 2015 19:14

Zdravím,

prosím o výpočet následujícího příkladu:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-03/84048_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

Děkuji

qwasyxer · 12. 03. 2015 20:55

urči si kvocient: $q=\frac{a_{( n+1)}}{a_n }$
a pak už jen vypočítej nerovnici |q|<1
a máš obor konvergence

juraj1 · 12. 03. 2015 21:54

Bohužel mi to nevychází nevím kde dělám chybu.

Jj · 15. 03. 2015 19:20

↑ juraj1:

Dobrý den.

Těžko soudit, kde je chyba, když neuvádíte svůj výpočet.

Řekl bych, že podílové kritérium dá

$q = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{ n+1}}{a_n }=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(x-2)^{n+1}\,2^{1-(n+1)}}{n+1}}{\frac{(x-2)^n\,2^{1-n}}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\cdot \frac{(x-2)^{n+1}\,2^{-n}}{(x-2)^n\,2\cdot 2^{-n}}=$

$=\frac{x-2}{2}\cdot \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=\frac{x-2}{2}$

Pak

$|q|<1\Rightarrow \frac{|x-2|}{2}< 1\Rightarrow \cdots \Rightarrow 0 < x < 4$

V krajních bodech intervalu bude:

Pro x = 0:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(4-2)^n\,2^{1-n}}{n}=2\cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n }{n}=\cdots =-2\ln 2$ = známá konvergentní řada

Pro x = 4:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(4-2)^n\,2^{1-n}}{n}=2\cdot\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ = známá divergentní řada (tzv. harmonická řada)

--> řada konverguje pro $a\in\langle0,4)$

Matematické Fórum

#1 12. 03. 2015 19:14

Nekonečná řada příklad určení oboru konvergence

#2 12. 03. 2015 20:55

Re: Nekonečná řada příklad určení oboru konvergence

#3 12. 03. 2015 21:54

Re: Nekonečná řada příklad určení oboru konvergence

#4 15. 03. 2015 19:20

Re: Nekonečná řada příklad určení oboru konvergence

Zápatí