Matematické Fórum

mefis · 13. 03. 2015 20:18

Dobrý deň

Znenie príkladu: Ako dlho bude trvať úder futbalovej lopty o stenu? Rozdiel tlaku vzduchu v lopte a vonkajšieho tlaku vzduchu je $\delta p$ , polomer lopty je R a hmotnosť lopty je m. Vzhľadom na to, že lopta je silno nafúkaná, stlačenie lopty pri údere považujte v porovnaní s polomerom lopty za malé.

Nemám poňatie od čoho sa odchytiť, akým vzťahom sa dostať k času pri počítaní rozdielov tlakov, každá rada pomôže, vďaka.

pietro · 14. 03. 2015 00:06

↑ mefis:Ahoj, šiel by som na to najprv rozmerovou analýzou:

čas je úmerný: hybnosti, 1/povrch, 1/tlak

zdenek1 · 14. 03. 2015 18:43

↑ mefis:
Budeš muset začít nějakými modely
a) budu předpokládat, že náraz je tak rychlý, že nedojde ke změnám teploty vzduchu v míči.
pak bude platit
$(p_0+\delta p)V_0=pV$
kde p_0 je atmosférický tlak a
V objem při největší deformaci míče

b) budu předpokládat, že míč se rozplácne na jakýsi elipsoid, tj. jeho objem bude
$V=\frac43\pi r^2(r-x)$ (poradil Google)

tj.
$(p_0+\delta p)\frac43\pi r^3=p \frac43\pi r^2(r-x)\ \Rightarrow \ p=\frac{(p_0+\delta p)r}{r-x}$

Připlácnutá plocha bude vytvářet kruh s poloměrem $\varrho =\sqrt{2rx-x^2}$
takže síla působící na míč bude
$F=pS =\frac{(p_0+\delta p)r}{r-x}\pi x(2r-x)$

Vzhledem k tomu, že považujeme $x\ll r$ , dostaneme
$F=2\pi r(p_0+\delta p)x$
Síla je přímo úměrná výchylce, tj. jedná se o harmonickou sílu s tuhostí $k=2\pi r(p_0+\delta p)$

Perioda je $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ , ale odraz je jen půl periody.
Doba odrazu
$t=\pi\sqrt{\frac{m}{2\pi r(p_0+\delta p)}}=\sqrt{\frac{\pi m}{2 r(p_0+\delta p)}}$

mefis · 15. 03. 2015 08:22

↑ zdenek1:

Ďakujem za ochotu ;)

pietro · 15. 03. 2015 12:25

↑ zdenek1: Zdenek , prosím Ťa a rýchlosť by sa tam nedala niekde vtesnať ešte?
Vzťah je taký statický, a úder je predsa len dynamický jav.

m-krat-a · 15. 03. 2015 13:37

↑ mefis: myslím že bonusové úlohy na fyziku by sa mali riešiť samostatne

zdenek1 · 15. 03. 2015 14:01

↑ m-krat-a:
a) Nevěděl jsem, že je to bonusová úloha na cokoli. Nejsem vševědoucí.
b) Nikde není řečeno, že je to dobře. Je to jen první nápad, který jsem dostal včera při večeři. Např. by asi bylo vhodnější nahradit izotermický děj adiabatickým.

zdenek1 · 15. 03. 2015 14:10

↑ pietro:
Dala i nedala.
Pokud tedy přijmeme, že se to chová při odrazu jako harm. osc., pak rychlost není volitelný parametr, ale je jednoznačně daná parametry oscilátoru (hmotnost, tuhost, amplituda). Takže rychlost dopadu je schovaná v amplitudě přes $\frac12mv_d^2=\frac12kA^2$ .

Nicméně perioda na amplitudě nezávisí.

Brzls · 15. 03. 2015 14:57 — Editoval Brzls (15. 03. 2015 15:06)

Edit: Jelikož jsem si v průběhu psaní nevšiml že se konverzace vyvíjela (bylo zmíněno že je adiabatický model lepší, a především že jde o bonusovou úlohu) tak jsem zde poskytl, dle mého názoru, kompletní řešení.

Zveřejním ho tedy až někdy později, ideálně po termínu odevzdání ↑ m-krat-a: mohu se zeptat kdy to je?
samotného by mě taktéž zajímalo jestli jsem sám osobně uvažoval správně, proto bych to chtěl zde zveřejnit

Zdeňkův postup zde nechám, protože slouží jako dobrá inspirace pro vlastní postup, abys tedy věděl čím začít

pietro · 15. 03. 2015 14:59 — Editoval pietro (15. 03. 2015 15:03)

Ahojte , tak som si to rozobral( zjednodušil) ako náraz hmotného telesa na pružinu
http://www.wolframalpha.com/input/?i=m* … 280%29%3Dv

z výsledku vidno, že frekvencia( a teda T ponoru)
nezávisia od vstupnej rýchlosti !!!

Takže beriem späť otázku. :-)

aj Zdeněk , ďakujem za odpoveď.

Brzls · 25. 04. 2015 09:54 — Editoval Brzls (25. 04. 2015 09:54)

Tak jsem si dělal pořádek na ploše, a našel jsem tak zkopírovaný moje řešení tohoto. Nějak mi to bylo líto smazat, tak jsem si řekl že to sem teda dám. Netvrdím že je to správně, znovu už jsem to nekontroloval:

1. Celý průběh je adiabatický, nedochází k tepelné výměně
2. Co se deformace týče, spíše než jakýsi elipsoid budeme uvažovat, že pro rychlý náraz s malým stlačením se bude koule postupně deformovat na "kouli bez vrchlíku" (jakože to prostě bude vypadat jak seříznutá koule).
Nemyslím si že tento druhý předpoklad byl v něčem lepší než zdeňkův, ale já bych to prostě počítal takto...

3. Zanedbáváme elastickou energii povrchu. To by mělo být možné, pokud se deformuje velmi málo a je nějak rozumně nafouknutý.
4. Předpokládáme, že míč je napuštěn ideálním například dvouatomovým plynem.

Samotný postup:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!