Matematické Fórum

smajdalf · 16. 03. 2015 09:59

Důkazy mi vůbec nejdou, takže kdyby mi s nimi někdo pomohl, budu rád:

20. Je-li přirozené číslo n druhou mocninou celého čísla, pak součin dvou posledních cifer čísla n je číslo sudé. Dokažte.

Díky předem. :-)

byk7 · 16. 03. 2015 10:44

Ukážeme, že alespoň jedna číslice z posledního dvojčíslí, je sudá.

Uvažme $N=100m+10b+a$ , kde $a,b\in\{0,1,\ldots,9\},m\in\mathbb{N}_0$ a všechna tři čísla nejsou současně nulová.
Pak $n=N^2=(100m+10b+a)^2=10000m^2+100b^2+a^2+200m(10b+a)+20ab$ . Vidíme, že poslední dvě cifry můžou ovlivnit pouze sčítance $a^2$ a $20ab$ (ostatní určitě končí vždy alespoň dvěma nulami nebo jsou nule rovny). Pokud je $a^2$ mocninou sudé číslice, jsme hotovi (poslední číslice je sudá), pokud ale $a^2\in\{01,09,25,49,81\}$ , tak si uvědomme, že číslo $20ab$ končí nulou a předchází jí sudá číslice, proto k číslici na místě desítek přičítáme sudou číslici, což je opět sudé číslo. A jsme hotovi.

vanok · 16. 03. 2015 10:47 — Editoval vanok (16. 03. 2015 10:52)

Ahoj ↑ smajdalf:,
Navod
Mas viacej situaci, ktore je zaujimave vysetrovat oddelene
A) vysetrovane cislo je parne
B) vysetrovane cislo je neparne, potom staci sa limitivat na posledne dve cislice vysetrovaneho cisla a vysetrovat cisla formy 10a+b, kde a je cele medzi 0 a 9, b neparne medzi 1 a 9.

Poznamka: metoda B) funguje pre kazde cele cislo.
Lebo druha mocnina vysetrovaneho cisla je ma posledne dvojcislie take iste ako 20ab+b^2, a tak hladanie cislo n je vzdy parne.
( to je tiez ukazka, ze ak hladas nejake riesenie, pri tom niekedy najdes aj nejake nove!)

Pavel · 16. 03. 2015 10:49

↑ smajdalf:

Napiš si $n=(10a+b)^2$ , kde $a,b$ jsou nezáporná celá čísla a $b\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ . Rozděl řešení na dvě části - 1. $b$ je sudé, 2. $b$ je liché.

ad 1.) je poslední cifra výrazu $(10a+b)^2$ sudá, nebo lichá?

ad 2.) je předposlední cifra výrazu $(10a+b)^2$ sudá, nebo lichá?

Rumburak · 16. 03. 2015 10:59

↑ smajdalf:

Jestliže pro přirozené číslo $n$ platí $n = k^2$ , kde $k$ je celé číslo, potom také $n =m^2$ , kde $m=|k|$
už je přirozené číslo.

Zkusil bych postupovat indukcí podle $m$ .

1. Pro $m=1$ je $n=m^2 = 1 = 10\cdot 0 + 1$ , kde $0 \cdot 1 = 0$ je sudé číslo.

2. Předpokládejeme, že dokazovaná věta platí pro číslo $n = m^2$ s některým přirozeným číslem $m$ .
(Takový předpoklad je odůvodněn předchozím krokrm.)
Ukažme, že pak bude věta platit i pro přirozené číslo $n_1 = (m+1)^2$ .