Matematické Fórum

aflotun · 20. 03. 2015 11:27

Zdravím,
mám problém s příkladem bez výsledku:

Na kružnici rovnoměrně náhodně a nezávislé na sobě vybereme tři body A, B, C. S jakou pravděpodobnosti bude trojúhelník ABC ostroúhlý?

Moje řešení: Jeli maximální vzdálenost $d$ mezi body se rovna $2r$ , kde $r$ je poloměr, pak trojúhelník je pravoúhlý. Aby trojúhelník byl tupoúhlý má byt $d<2r$ , tj. vše body padnou na polovinu kružnici s pravděpodobnosti $(1/2)^3$ . Pak výsledek $P=1-2(1/2)^3=3/4$ .

Nevím, zda mám správně řešení. Ještě měl bych použit náhodné vektory.

Jj · 22. 03. 2015 19:45

↑ aflotun:

Dobrý den.

Zkusím řešit. Možná jsem nezvolil nejjednodušší zobrazení, ale snad to bude z obrázků patrné:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

aflotun · 23. 03. 2015 09:24

Dobry den,
dekuji za velice zajimave reseni. Ale, podle me, vysledek mel by byt opacny.

Jak jste zminil, ze stred patri k trojuhelniku ABC. Pravdepodobnost toho nemuze byt mensi, kdyz nepatri.

Jinak receno, prst padnuti vsech bodu jen na stejnou polovinu kruznici nemuze byt vetsi nez vse ostatni pripady.

aflotun · 23. 03. 2015 15:52

↑ Jj:

Dobry den,
napada mi reseni s nahodnymi vektorami takto:

Nahodny vektor $(X,Y,Z)$ ma rovnomerne rozdeleni na krychli $K = {(x,y,z); 0\le x,y,z\le 2\pi r}$ s hustotou $f(x,y,z)=1/(2\pi r)^3 pro (x,y,z)\in K.$
Pak $P(\triangle tupouhly)=2\int_{0}^{\pi r}\int_{0}^{\pi r}\int_{0}^{\pi r}f(x,y,z)dxdydz=2/2^3=1/4$ a vysledek $P(\triangle ostreuhly)=1-1/4=3/4$ .

Nevim, jesli mam spravne reseni.

Jj · 24. 03. 2015 11:49

↑ aflotun:

Zdravím. Ještě k řešení bez náhodných vektorů. Za své řešení bych samozřejmě nestrčil ruku do ohně, tak jsem si ještě pohrál se simulací úlohy pomocí náhodných čísel. Poměr četnosti "vzniku" ostroúhlého trojúhelníku k celkovému počtu pokusů osciluje těsně kolem hodnoty 0.25 --> hledaná pravděpodobnost ~ 1/4.

Zkoušel jsem úlohu najít na netu. Několikrát jsem našel její zadání s výsledkem 1/4 (bez postupu řešení). Řekl bych, že tady Odkaz je dostatečně autoritativní zdroj, potvrzující P = 1/4.

Takže pro mě už platí výsledek P = 1/4 za bernou minci.

Řešení s náhodnými vektory nerozumím, nějak v tom nevidím geometrii (zřejmě moje chyba).

aflotun · 25. 03. 2015 19:52

↑ Jj:

Dobry vecer,
mate muj obdiv a respekt. Dokonce jste nasimuloval. Klobouk dolu, nemam slov.

Asi jsem pochopil svoji chybu. Vse me vysledky plati jen tehdy, kdyz se da zafixovat dve stejne polovinky kruznici. Takovy predpoklad ze me strany byl velkou blbosti, tj. omylem.

Vy mate spravne reseni, aspon podle mne.

Vase reseni pomoci nahodneho vektoru asi melo by vypadat takto:

Nahodny vektor $(\Phi,\Psi )$ ma rovnomerne rozdeleni na obdelniku $O = \{(\varphi, \psi); 0\le \varphi \le \pi , 0\le \psi \le 2\pi\}$ s hustotou $f(\varphi,\psi)=1/(2\pi^2); (\varphi,\psi)\in O.$

Pak $P(\triangle ostreuhly)=\int_{0}^{\pi}\int_{\pi -\varphi /2}^{\pi +\varphi /2}f(\varphi,\psi)d\varphi d\psi =1/4.$

aflotun · 27. 03. 2015 09:07

↑ Jj:

Dobry den,
dekuji Vam za pomoct a krasne reseni. Omlouvam se, ze selhala ma intiuce.
S potesenim pridal jsem Vam 1 bod, zaslouzil jste i vic.
S pozdravem,
Aflotun.

Matematické Fórum

#1 20. 03. 2015 11:27

Pravděpodobnost - náhodné vektory - příklad

#2 22. 03. 2015 19:45

Re: Pravděpodobnost - náhodné vektory - příklad

#3 23. 03. 2015 09:24

Re: Pravděpodobnost - náhodné vektory - příklad

#4 23. 03. 2015 15:52

Re: Pravděpodobnost - náhodné vektory - příklad

#5 24. 03. 2015 11:49

Re: Pravděpodobnost - náhodné vektory - příklad

#6 25. 03. 2015 19:52

Re: Pravděpodobnost - náhodné vektory - příklad

#7 27. 03. 2015 09:07

Re: Pravděpodobnost - náhodné vektory - příklad

Zápatí