Matematické Fórum

lednička · 02. 05. 2009 17:56

Poradíte mi prosím prosím někdo postup na vyřešení této rovnice?

tg x * cotg 2x = tg 2x * cotg x

výsledek: 60°+k*180° nebo 120°+k*180°

Olin · 02. 05. 2009 18:18

Tak nejprve určitě stanovit podmínky. Pak bych na to šel přes
$\mathrm{cotg}x = \frac{1}{\mathrm{tg}x}$

čímž dostaneme
$\frac{\mathrm{tg}x}{\mathrm{tg}2x} = \frac{\mathrm{tg}2x}{\mathrm{tg}x}\nl \mathrm{tg}^2x = \mathrm{tg}^22x$

Nyní bych uvažoval tak, že se druhé mocniny rovnají právě tehdy, když jsou umocňované výrazy buď sobě rovné, nebo opačné. Tedy musí buď platit
$\mathrm{tg}x = \mathrm{tg}2x$
nebo
$\mathrm{tg}x = -\mathrm{tg}2x$

Nyní můžeme postupovat třeba přes vzorec $\mathrm{tg}2x = \frac{2\mathrm{tg}x}{1-\mathrm{tg}^2x}$ , nebo že upravíme $\mathrm{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ a využijeme vzorců pro dvojnásobný argument sinu a kosinu.

vonSternberk · 18. 05. 2009 09:54

můžete mi někdo vysvětlit postup výpočtu tohoto příkladu:
určete všechna řešení goniometrické rovnice $sin2x=\frac{1}{2}$

Cheop · 18. 05. 2009 09:59 — Editoval Cheop (18. 05. 2009 10:14)

↑ vonSternberk:
$\sin 2x=\frac 12$ substituce $2x=t$
$\sin t=\frac 12\nlt_1=\frac{\pi}{6}+2k\pi\nlt_2=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ vratka k substituci:
$2x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\nlx_1=\frac{\pi}{12}+k\pi\nl2x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\nlx_2=\frac{5\pi}{12}+k\pi$

vonSternberk · 18. 05. 2009 10:12

$\frac{\pi}{6}$ chápu, ale co znamená ten zápis za tím? A pro t2 nic?

Cheop · 18. 05. 2009 10:15

↑ vonSternberk:
Protože jsem byl odvolán a dopočítal jsem to později.

muminekxx · 18. 05. 2009 10:51

↑ Olin: hoj, vubec nechapu, jaks dosel na to cotg= 1/tgx myslis, ze bys to mohl vysvetlit?

Cheop · 18. 05. 2009 10:57 — Editoval Cheop (18. 05. 2009 11:29)

↑ muminekxx:
Je známo:
$\tan x\cdot\cot x=1$
Můžeš psát:
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\nl\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}$
Nebo jinak.
V pravoúhlém trojúhelníku ABC s odvěsnami a,b je :
tangens úhlu alfa (úhel při vrcholu A) definován jako poměr strany a ke straně b(protihlá odvěsna ku přilehlé odvěsně) = a/b
kotangens úhlu alfa jako poměr přilehlé odvěsny ku protilehlé odvěsně = b/a z toho plyne: kotangens = 1/tangens. (cotg = 1/tg)

vonSternberk · 18. 05. 2009 11:54

↑ Cheop: $\sin t=\frac 12\nlt_1=\frac{\pi}{6}+2k\pi\nlt_2=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ a jak jsi prisel na tento vysledek??

Cheop · 18. 05. 2009 12:12 — Editoval Cheop (18. 05. 2009 12:22)

↑ vonSternberk:
Sinus je kladný v I. a II. kvadrantu. tj. v intervalu <0; 180> stupňů
arcsin(1/2) = 30 stupňů = pi/6 + perioda 2k pi (toto je I. kvadrant)
arcsin(1/2) = 150 stt. = 5pi/6 + perioda 2k pi (toto je II. kvadrant)

vonSternberk · 18. 05. 2009 12:28

OK..muzete mi tedy nikdo zkontrolovat toto:
$tg3x=1$
$3x=t$
$tgt=1$
$t=\frac{\pi}{4}+k\pi$
$3x=\frac{\pi}{4}+k\pi$
$x=\frac{\pi}{12}+k\pi$

Cheop · 18. 05. 2009 12:32 — Editoval Cheop (18. 05. 2009 12:51)

↑ vonSternberk:
Tou trojkou musíš vydělit i tu periodu tj:
$x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}=\frac{\pi}{12}\left(4k+1\right)$

vonSternberk · 18. 05. 2009 12:38

jenže vyjit ma toto: $x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{3}$

Cheop · 18. 05. 2009 12:41 — Editoval Cheop (18. 05. 2009 12:44)

↑ vonSternberk:
To tedy nemůže vyjít.
$x=\frac{\pi}{4}\nl3x=\frac{3\pi}{4}\nltan\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-1\,\ne\,1$

vonSternberk · 18. 05. 2009 13:47

OK a muzete mi jeste vysvetlit tento priklad:
Určete v obloukové míře úhel $x\in<0,2\pi>$ , pro který platí současně $sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}$
...tak jsem počítal, že $sin\frac{\sqrt{2}}{2}$ je 45° tj. $\frac{4}{\pi}$ , ale výsledek je $\frac{3\pi}{4}$ jaktože?

Cheop · 18. 05. 2009 13:53

↑ vonSternberk:
současně s čím platí:
$\sin x=\frac{\sqrt 2}{2}\nlx \in\left<0\,;\,2\pi\right>$

vonSternberk · 18. 05. 2009 13:54

jo pardon platí dále s $cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Cheop · 18. 05. 2009 14:05 — Editoval Cheop (18. 05. 2009 14:19)

↑ vonSternberk:
Sinus je kladný v I. a II. kvadrantu
Kosinus je záporný ve II. a III. kvadrantu
Společný průnik je tedy II.kvadrant, což odpovídá úhlu: $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$ v uvedeném intervalu

Zkouška:
$\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt 2}{2}\nl\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt 2}{2}$

vonSternberk · 18. 05. 2009 14:19

jj chci se ještě zeptat, když mám jednotkovou kružnici tak:
Sinus je kladný v I.II. záporný v ?
Kosinus je kladný v ? záporný v II.III.
Tangens ?
Cotangens?
díky předem za doplnění

Cheop · 18. 05. 2009 14:26 — Editoval Cheop (18. 05. 2009 14:28)

↑ vonSternberk:

Funkce I. II. III. IV.
sin + + - -
cos + - - +
tg + - + -
cotg + - + -

Matematické Fórum

#1 02. 05. 2009 17:56

Goniometrická rovnice

#2 02. 05. 2009 18:18

Re: Goniometrická rovnice

#3 18. 05. 2009 09:54

Re: Goniometrická rovnice

#4 18. 05. 2009 09:59 — Editoval Cheop (18. 05. 2009 10:14)

Re: Goniometrická rovnice

#5 18. 05. 2009 10:12

Re: Goniometrická rovnice

#6 18. 05. 2009 10:15

Re: Goniometrická rovnice

#7 18. 05. 2009 10:51

Re: Goniometrická rovnice

#8 18. 05. 2009 10:57 — Editoval Cheop (18. 05. 2009 11:29)

Re: Goniometrická rovnice

#9 18. 05. 2009 11:54

Re: Goniometrická rovnice

#10 18. 05. 2009 12:12 — Editoval Cheop (18. 05. 2009 12:22)

Re: Goniometrická rovnice

#11 18. 05. 2009 12:28

Re: Goniometrická rovnice

#12 18. 05. 2009 12:32 — Editoval Cheop (18. 05. 2009 12:51)

Re: Goniometrická rovnice

#13 18. 05. 2009 12:38

Re: Goniometrická rovnice

#14 18. 05. 2009 12:41 — Editoval Cheop (18. 05. 2009 12:44)

Re: Goniometrická rovnice

#15 18. 05. 2009 13:47

Re: Goniometrická rovnice

#16 18. 05. 2009 13:53

Re: Goniometrická rovnice

#17 18. 05. 2009 13:54

Re: Goniometrická rovnice

#18 18. 05. 2009 14:05 — Editoval Cheop (18. 05. 2009 14:19)

Re: Goniometrická rovnice

#19 18. 05. 2009 14:19

Re: Goniometrická rovnice

#20 18. 05. 2009 14:26 — Editoval Cheop (18. 05. 2009 14:28)

Re: Goniometrická rovnice

Zápatí