Matematické Fórum

malarad · 30. 03. 2015 12:11

Dobrý den, nevím jak na příklad o hyperbole
Zadání:
Napište středový tvar rovnice hyperboly, která prochází bodem $M[9, 2\sqrt{5}]$ , má asymptotu o rovnici 2x-3y=0 a má hlavní osu v ose $x$

Pokud označíme hlavní poloosu písmenem $a$ , tak rovnice bude ve tvaru $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Řešil bych to jako soustavu dvou rovnic o dvou neznámých( $a, b$ ) ale nevím, jak sestavit rovnice. Je mi jasné, že přímka(asymptota) se hyperboly nedotýká, takže nemají společný bod.
Děkuji

Rumburak

↑ malarad:

Zdravím.

O hledané hyperbole víme:

má asymptotu o rovnici 2x-3y=0 a má hlavní osu v ose $x$

Odtud můžeme určit její střed a druhou asymptotu.

Další informace o vztahu hyperboly k její asymptotě jsem nedavno uvedl v tomto vlákně.

malarad · 30. 03. 2015 15:04

↑ Rumburak:
děkuji, to, že hyperbola má střed $S[0,0]$ vidíme z toho, že rovnice asymptoty nemá absolutní člen, tudíž prochází počátkem souřadnic $[0,0]$
dále však nevím

Rumburak · 30. 03. 2015 16:15

↑ malarad:

Tvar rovnice asymptoty by sám k jednoznačnému určení středu nestačil - podmínka o poloze hlavní osy je
rovněž důležitá.

Hyperbola požadovaných vlastností tedy bude mít rovnici tvaru

(1) $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 , a > 0 , b > 0$ .

Do ní můžeme dosadit bod $M[9, 2\sqrt{5}]$ , jímž má hyperbole procházet. Odtud jeden vztah mezi čísly $a, b$ .

Z rovnoice (1) se dají určit rovnoice asymptot hyperboly - jedna z nich musí být ekvivalentní rovnici $2x-3y=0$ .
Odtud druhý vztah mezi čísly $a, b$ .

malarad

↑ Rumburak:
za tu úvahu, že hyperbola má střed $S[0,0]$ se omlouvám, je to nesmysl.

Takže máme jednu rovnici :

(1) $\frac{81}{a^{2}}-\frac{20}{b^{2}}=1$ to je mi jasné

nevím, jak určit tu druhou asymptotu, jen vím, že její normálový vektor je $(-2, -3)$ nebo $(2, 3)$ a nevím, jak určit střed(hyperboly), protože ten bych určil jako průsečík dvou asymptot

zdenek1 · 30. 03. 2015 20:34

↑ malarad:
Ne, střed hyperboly máš správně.
Ty jsi nepochopil, co ti ↑ Rumburak: píše.

Snaží se ti říci, že informace o jedné asymptotě SAMA O SOBĚ nestačí, ale potřebuješ k tomu i informaci o hlavní ose.

asymptoty budou mít tvar $y=\pm\frac ba x$ .
Protože jednu máš $y=\frac23 x$ , druhá je $y=-\frac23 x$
Máš tedy $\frac ba=\frac23$

malarad · 30. 03. 2015 21:18

střed hyperboly je tedy v počátku $[0,0]$ protože jsem si teď všiml, že hyperbola má hlavní osu v ose $x$ (v zadání ulohy)

o vedlejší svislé poloose $b$ víme to, že má $\frac{2}{3}$ délky hlavní poloosy $a$

malarad

$\frac{81}{a^{2}}-\frac{20}{(\frac{2}{3}a)^{2}}=1$
Takto?

zdenek1 · 30. 03. 2015 21:44

↑ malarad:
Ano

malarad · 30. 03. 2015 22:15

Ona to ale je v podstatě dost jednoduchá úloha, pokud se člověk nezabývá zbytečnostmi a používá hlavu

Děkuji Zdeňku a Rumburaku

malarad · 31. 03. 2015 00:00

akorát, že jsem spočítal tuto rovnici

$\frac{81}{a^{2}}-\frac{20}{\frac{2}{3}a^{2}}=1$
z čehož mi vyšlo, že $a^{2}=51$ a po dosazení do $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{\frac{2}{3}a^{2}}=1$

mi vyjde $2x^{2}-3y^{2}=102$
ale ve sbírce příkladů je uvedeno $4x^{2}-9y^{2}=144$
Jak to?