Matematické Fórum

FekrCZ · 30. 03. 2015 17:06

Dobrý den, byl bych rád kdyby mi někdo pomohl s vyřešením tohoto příkladu . Největší problém vtkví v úpravě po derivacích.
$x=cos^{4}t , y=sin^{4}t, L=\int_{0}^{\pi/2 }\sqrt{(\frac{\partial x}{\partial t})^{3}+(\frac{\partial y}{\partial t})^{2}} dt$
Předem děkuji za někoho ochotného

Al1 · 30. 03. 2015 17:48

↑ FekrCZ:
Vzorec pro délku křivky by měl být $L=\int_{0}^{\pi/2 }\sqrt{(\frac{\partial x}{\partial t})^{2}+(\frac{\partial y}{\partial t})^{2}} dt$ ,
nebo to tak není?

Jj · 30. 03. 2015 19:11

↑ FekrCZ:

Dobrý den. Ta třetí mocnina v integrálu je zřejmě překlep. Nepodařila se mi úprava goniomertikých funkcí, kterou bych uměl zintegrovat.
Řekl bych, že je možno zkusit přechod ke kartézským souřadnicím:

$\1\cos^2t =\sqrt{x}, sin^2t=\sqrt{y} \Rightarrow \sqrt{y}+\sqrt{x}=1 \Rightarrow y = (\sqrt{x}-1)^2, x\in \langle 0, 1 \rangle$

$L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+y'^2}\,dx=\cdots=\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{ 1-2 \sqrt{x}+2 x}{x}}\,dx$ , substituce x = t^2, dx = 2t dt

$L=2\int_{0}^{1}\sqrt{2t^2-2t+1}\,dt=\cdots \sqrt{2}\int_{0}^{1}\sqrt{4\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+1}\,dt$

substituce $2\left(t-\frac{1}{2}\right)=\sinh z,\,dt = \frac{1}{2}\coshz\,dz$

$L=\sqrt{2} \int_{0}^{argsinh(1)}\sqrt{\sinh^2z +1}\cdot \cosh z\,dz=\sqrt{2} \int_{0}^{argsinh(1)} \cosh^2 z\,dz=\cdots \doteq 1.6232$

No - taky žádný med.

Wolfram dává pro původní integrál stejný výsledek: Odkaz, tak snad to bude dobře.

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2015 17:06

Délka křivky

#2 30. 03. 2015 17:48

Re: Délka křivky

#3 30. 03. 2015 19:11

Re: Délka křivky

Zápatí