Matematické Fórum

Quimby · 03. 04. 2015 15:29

Zdravím, potřeboval bych pomoct s jedním krokem u odvozování zákona radioaktivní přeměny.
Výsledek by měl být:
$N=N_0 . e^{-\lambda t}$
Dokázal jsem si věci odvodit až ke kroku:
Kdy N je počet částic v čase t a lambda je rozpadová konstanta
$\frac{\mathrm{d} N}{N}= -\lambda \mathrm{d}t$
Nyní potřebuju vyjádřit N, zkusil sem tedy rovnici integrovat:
$\int{^{}\frac{\mathrm{d} N}{N}}=\int -\lambda \mathrm{d}t$
Bohužel s integrací rovnic mám jen velmi povrchní zkušenosti z internetu
"Upravil" jsem to na toto
$\int{^{}\frac{1}{N}} \mathrm{d}N=\int -\lambda \mathrm{d}t$
$ln |N|+c_{1}=-\lambda t +c_{2}$
Ovšem nevím jestli už sem něco neudělal špatně.
Řekl bych, že ty 2 konstanty se nerovnají.Ještě co vím o těch konstantách, tak by asi měly vyjadřovat stav v čase 0, nebo si myslim, že bych za ně mohl aspoň ve stejném čase dosadit pro obě funkce.

Tedy, že by mohlo být:
počet částic je na počátku $N_0$
čas v čase 0 je prostě ta nula
$ln |N|+N_0=-\lambda t +0$
Dál bych to mohl maximálne převést na exponenciální tvar:
$e^{ln |N|+N_0}=e^{-\lambda t}$
což po úpravě odpovídá
$Ne^{N_0}=e^{-\lambda t}$
Takže to znamená, že sem někde udělal asi něco špatně :( Bohužel nevím kde.

Hledal jsem i odvozování na internetu, našel jsem http://www.wikiskripta.eu/index.php/Z%C … ho_rozpadu což můj problém moc neřeší, protože ten krok, který mi nejde popisuje jako "integraci obou stran rovnice a jednoduchou úpravu" :(

Kdyby by se tady prosím našel někdo, kdo mi dokázal najít chybu popřípadě mě popostrčit správným směrem? Byl bych dost vděčný i za materiál, kde jsou diferenciální rovnice hezky vysvětleny. Děkuju

vytautas

↑ Quimby:

zdravím,
po krok $ln|N|+c_1 = -\lambda t+c_2$ je to správne

obidve konštanty môžeš zhrnúť do jednej, čiže $ln|N|=-\lambda t+C$

ďalej vieš, že v čase $t=0$ je $N=N_0$ , čiže $N(0)=N_0$

stadeto to už dokážeš dopočítať ?

konštanty si nemôžeš len tak zvoliť, oni sú "zvolené" začiatočnými podmienkami ( $N(0)=N_0$ ), teda, keď dosadíš začiatočné podmienky dostaneš konštanty.

snáď som sa nezmýlil.

ak vieš anglicky tak tu je to tam super vysvetlené. Ak nie, tak gúgli, nájdeš všetko, aj matematicky úplne korektné aj polopatisticky vysvetlené.

Al1 · 03. 04. 2015 15:52

$\frac{dN}{N}=-\lambda dt$

$\int_{N_{0}}^{N}\frac{dN}{N}=\int_{0}^{t}(-\lambda )dt$

$[\ln |N|]_{N_{0}}^{N}=-\lambda [t]_{0}^{t}$

$\ln N-\ln N_{0}=-\lambda t$

$\ln N=-\lambda t+ln N_{0}$

$\ln N=\ln (\mathrm{e}^{-\lambda t})+ln N_{0}$

$\ln N=\ln (\mathrm{e}^{-\lambda t}\cdot N_{0})$

holyduke

↑ Quimby:
Ahoj, jestliže jsi pochopil začátek z té stránky co jsi poslal, tak na tebe navážu odtud:
$\frac{\mathrm{d} N}{N}= -\lambda \mathrm{d}t$

Rovnici zintegrujeme s tím, že dolní meze budou stavy na začátku děje. Tedy $N=N_{0}$ a $t=0$ . Horní meze budou pak stavy na konci děje a to $N$ a $t$ . Jelikož je lambda konstanta, tak ju hodím před integrál:
$\int_{N_{0}}^{N}\frac{1}{N}dN=-\lambda\int_{0}^{t}dt$
neurčitej integrál asi umíš
Teď stačí použít Newton-Leibnizovu metodu (pokud netušíš oč jde tak si to najdi někde na netu) a dostáváme:

$\ln N-\ln N_{0}=-\lambda t-0$
$\ln \frac{N}{N_{0}}=\ln \mathrm{e}^{-\lambda t}$
a konečně $N=N_{0}\mathrm{e}^{-\lambda t}$

poznámka: ta absolutní hodnota, kterou jsi tam dával, je zbytečná, protože počet částic nemůže být záporný

Quimby · 03. 04. 2015 16:06

vytautas:
No s těmi konstantami mi to právě nebylo jasné, snad to časem pochopím, děkuji za odkaz. S AJ vůbec nemám problém, stránku neznám ale vypadá, že tam bude i hodně jiných materiálů :)

Al1,holyduke:
Děkuju, ty určitý integrály mi přišli divný, protože nemají stejné meze, ale když se na to teĎ koukám, tak jsou vlastně na celém svém definičním oboru, což je teda asi v pořádku.

Takže ještě jednou děkuji :)

Matematické Fórum

#1 03. 04. 2015 15:29

Matematické odvození zákona radioaktivní přeměny

#2 03. 04. 2015 15:43 — Editoval vytautas (03. 04. 2015 15:52)

Re: Matematické odvození zákona radioaktivní přeměny

#3 03. 04. 2015 15:52

Re: Matematické odvození zákona radioaktivní přeměny

#4 03. 04. 2015 15:52 — Editoval holyduke (03. 04. 2015 15:55)

Re: Matematické odvození zákona radioaktivní přeměny

#5 03. 04. 2015 16:06

Re: Matematické odvození zákona radioaktivní přeměny

Zápatí