Matematické Fórum

ado130 · 06. 04. 2015 16:15 — Editoval ado130 (06. 04. 2015 19:19)

Zdravím,
chcel by som vás požiadať o radu, resp. také ujasnenie si pojmov.
Mám všeobecné zadanie, integrál po nejakej krivke $\Gamma$ (pre príklad uvediem kružnicu) z komplexnej premennej
$\int_{\Gamma }^{}f(z)dz$ , $\Gamma:z(t)=r\cdot e^{jt}$ $t\in <0;\pi>$
Mám na výber vlastne z nasledovných bodov ako budem postupovať?:
1. Ak je f(z) hladká - tu by som sa chcel spýtať ako presne zistím či je tá fc hladká, viem, že to znamená, má spojitú deriváciu, takže ak je hladká môžem ju "klasicky" zintegrovať a následne dosadiť medze
2. Ak nie je hladká, vyjadrené z(t) zderivujem, a následne obe dosadím do toho integrálu a integrujem to + na záver dosadenie medzí
3. Ak je f(z) polynom/polynom, resp. má nejaké singularity, zistím si ich, zakreslím si tie bod do grafu a zistím, ktoré ležia v oblasti, kde integrujem a tam sa to ráta pomocou residuí, čo vedie k limite.

Mám konkrétne zadanie:
$f(z) = -6z\cdot sin(6z)$ $\Gamma :z(t)=-\frac{\pi }{2}\cdot e^{jt}$ $t\in<0;\pi>$
$\int_{\Gamma }^{}f(z)dz$
Neviem čo s tým záporným polomerom, zmeniť na + a otočiť medze?, následne zderivovať a dosadiť do integrálu?

Vopred vďaka za odpoveď.

Brano · 06. 04. 2015 19:33

nepotrebujes nic otacat a ani nepotrebujes vediet ako vyzera $\Gamma$ (aj ked je to polkruznica) podla svojho vlastneho navodu staci pouzit navod 1. - najdes primitivnu funkciu (potencial) a dosadis hranice.

ado130 · 06. 04. 2015 19:58

Vďaka, takže riešením bude len IMG?

Ešte by som sa chcel spýtať na príklad
$\int_{}^{}\frac{z\cdot sin(z)}{z^{2}+36}dz$
$\Gamma$ kladne orientovaná kružnica $|z-6|=9$
Zistím si singulárne body, $z_{1}=6j$ $z_{2}=-6j$ , oba sú 1. rádu.
Už len dosadím a zrátam?
$\int_{}^{}f(z)dz=2\pi j\cdot (\lim_{z\to6j}(z-6j)f(z)+ \lim_{z\to-6j}(z+6j)f(z))$

Brano · 06. 04. 2015 21:01

↑ ado130:
hranice niesu $0$ a $\pi$ ale $z(0)$ a $z(\pi)$ - kde $z$ je dane v $\Gamma$

na druhy priklad by si mal zalozit druhe vlakno - potrebujes zistit ktore z tych singularnych bodov lezia vnutri kruhu ktory ohranicuje zadana kruznica ale kedze su tam obidva, tak to mas spravne.