Matematické Fórum

Nia · 08. 04. 2015 13:40 — Editoval Nia (08. 04. 2015 13:46)

ahoj, pořád řeším LDR, tentokrát je to lin. dif. rce 3. řádu, jen bych Vás ráda poprosila o radu, jestli jsou správně vytvořené pravé strany:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/92443_ldr3.GIF

tři jednoduché reálné kořeny charakteristické rovnice: 0, 3 a 1
řešení charakteristické rovnice:
$y=C_{1}+C_{2}e^{3x}+C_{3}e^{x}$

1.část speciální pravé strany:
$x^{2}$ :
$Y_{1}=(Ax^{2}+Bx+C)x$

2.část speciální pravé strany (přidala jsem sem x, protože koeficient B odpovídá C1 v řešení char.rovnice - právě tady bych potřebovala radu, protože nevím, jestli uvažuju správně)
$xe^{2x}$ :
$Y_{2}=(Ax+B)e^{2x}x$

Al1 · 08. 04. 2015 20:39

↑ Nia:

$Y_{1}$ je správně, 0 je kořenem.
$Y_{2}=(Ax+B)e^{2x}$ , protože 2 není kořenem.

Řešení
Odkaz

Nia · 09. 04. 2015 18:18

aha, takže u Y2 mám vzít v úvahu tu dvojku, co umocňuje "e"

a u Y1 vycházím z "e^0x" -> 0 je kořenem charak. rce

je to tak?

Al1 · 09. 04. 2015 20:45

↑ Nia:

Platí:

Pokud je pravá strana rovna $f(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}P_{n}(x)$ , kde $P_{n}(x)$ je polynom n-tého stupně, pak partikulární řešení je ve tvaru $Y=\mathrm{e}^{\alpha x}\cdot x^{k}\cdot Q_{n}(x)$ , kde $\alpha$ je k-násobný kořen charakteristické rovnice a $Q_{n}(x)$ je obecný polynom n-tého stupně.

Proto $Y_{1}=(Ax^{2}+Bx+C)x$ , neboť $\alpha=0$ , 0 je jednonásobný kořen k=1, n=2 .

$Y_{2}=(Ax+B)e^{2x}x$ , protože $\alpha=2$ , 2 není kořen k=0, n=1