Matematické Fórum

kryštof

Ahoj, jak byste postupovali při výpočtu $\int \frac{1}{x+\sqrt{x^2+x+1}}\mathrm{d}x$ ? Použil jsem substituci $\sqrt{x^2+x+1}=x+t$ , ale výsledek není moc pěkný.

Al1 · 08. 04. 2015 22:37

↑ kryštof:

Po úpravě
$x=\frac{t^{2}-1}{1-2t}$
$dx=\frac{-2(t^{2}-t+1)}{(1-2t)^{2}}dt$

Po substituci

$\int_{}^{}\frac{-2(t^{2}-t+1)}{(1-2t)(t-2)}dt$

Rozklad na parciální zlomky

Brano · 08. 04. 2015 22:45 — Editoval Brano (08. 04. 2015 22:55)

to je spravny postup, ale Euler nam dava viac moznosti a v tomto pripade by bolo trochu jednoduchsie pouzit
$\sqrt{x^2+x+1}=t-x$ potom mas v menovateli $t$ a staci uz iba doratat $dx$ cize
$x^2+x+1=x^2-2tx+t^2$ teda $x=\frac{t^2-1}{2t+1}$ a $dx=\frac{2(t^2+t+1)}{(1+2t)^2}$
potom rozklad na parcialne zlomky

EDIT: no nakoniec ta povodna substitucia vedie na jednoduchsi vyraz (polynom 2. stupna v menovateli) zatial co tato ma polynom 3. stupna v menovateli, tak rozklad na parcialne zlomky sa urobi lahsie v tom prvom pripade, tak si mozes vybrat co sa ti viac paci

kryštof · 09. 04. 2015 15:33

Díky.

Matematické Fórum

#1 08. 04. 2015 22:29 — Editoval kryštof (08. 04. 2015 22:31)

substituce

#2 08. 04. 2015 22:37

Re: substituce

#3 08. 04. 2015 22:45 — Editoval Brano (08. 04. 2015 22:55)

Re: substituce

#4 09. 04. 2015 15:33

Re: substituce

Zápatí