Matematické Fórum

Jorica · 09. 04. 2015 09:40 — Editoval Jorica (09. 04. 2015 09:43)

Řešila jsem úlohu na využití sinové a kosinové věty, v původním zadání bylo c = 8 cm, $\alpha = 30^\circ$ a $S = 12 cm^{2}$ .

Můj postup řešení byl tento:
1. Nejprve jsem pomocí vzorce pro obsah stanovila stranu b = 6 cm (jednoznačný výsledek).
2. Pomocí kosinové věty jsem vypočetla délku strany a $\doteq$ 4,1 cm (jednoznačný výsledek).

Takže po dvou krocích znám všechny strany trojúhelníku, ten je dán jednoznačně. Další postup může být různý:

a) úhel $\gamma$ pomocí kosinové věty $\gamma \doteq 103^\circ 4$ (jednoznačně), úhel $\beta$ dopočítat do 180°, pak $\beta \doteq 46^\circ 56$ . Jediné řešení.

b) úhel $\beta$ pomocí kosinové věty $\beta \doteq 46^\circ 56$ (jednoznačně), úhel $\gamma$ dopočítat do 180°, pak $\gamma \doteq 103^\circ 4$ . Jediné řešení.

c) úhel $\beta$ pomocí sinové věty, zde získám 2 řešení: $\beta _{1}\doteq 46^\circ 56$ a $\beta _{2}\doteq 133^\circ 4$ . Druhé řešení nevyhovuje, protože by úhel $\gamma$ byl menší než úhel $\beta$ a proti delší straně trojúhelníku leží větší úhel. Opět získáme jen jedno řešení pro daný trojúhelník.

Ale pokud se rozhodnu počítat úhel $\gamma$ pomocí sinové věty, je zde problém:

d) úhel $\gamma$ pomocí sinové věty, zde získám 2 řešení: $\gamma _{1}\doteq 76^\circ 56$ a $\gamma _{2}\doteq 103^\circ 4$ . Pokud k těmto úhlům dopočítám příslušné úhly $\beta$ , pak: $\beta _{1}\doteq 73^\circ 4$ a $\beta _{2}\doteq 46^\circ 56$ . Obě řešení splňují nerovnosti pro úhly, tj. $\alpha < \beta <\gamma$ . Žádný z obvyklých způsobů vyloučení jednoho řešení, tj. že vypočtená velikost úhlu $\gamma$ spolu se zadaným úhlem $\alpha$ překročí 180° nebo, že proti kratší straně trojúhelníka vychází větší úhel, zde nezafungoval.

Jen díky tomu, že vím, že trojúhleník je zadán jednoznačně, vyloučím ostroúhlý trojúhelník např. pomocí Pythagorovy věty, kdy pro nalezenou délky stran a a b platí, že v pravoúhlém trojúhelníku s těmito odvěsnami by přepona měla přibližně 7,26 cm. Vzhledem k tomu, že c = 8 > 7,26, pak uvedený trojúhelník je tupoúhlý.

Další úvahou by mohlo být to, že trojúhelník s úhly o velikostech 30°, 73° a 77° je "téměř" rovnoramenný, čemuž neodpovídají délky stran. Ale to je hodně chatrné vysvětlení.

Proto se ptám na radu, zda jsem něco nepřehlédla, či jak jinak elegantně při postupu:
1. strana b pomocí známého obsahu
2. strana a podle kosinové věty
3. úhel $\gamma$ pomocí sinové věty
dospět ihned k jedinému správnému řešení.

Jorica · 09. 04. 2015 10:22

Ještě doplňuji, že další možností vyloučení ostroúhlého trojúhelníku s vypočtenými úhly by bylo ověření, že při použití údajů: $a\doteq 4,1 cm, c = 8 cm, \beta \doteq 73^\circ 4$ není obsah trojúhelníku roven 12 cm2. Ale ani tohle není zrovna obvyklý způsob vyloučení nevyhovujícího řešení.

jelena · 09. 04. 2015 11:38

Zdravím Vás (to je let :-)

Já znám jen doporučení, že pokud lze volit mezi kosovou a sinovou vetou, tak se upřednostní kosinová (a to proto, že $\cos(180-\alpha)$ a $\cos \alpha$ se rozliší znaménkem, ale pro sin to neplatí (není jednoznačný). Podrobnější asi nevím, ale přesunu téma do didaktiky. Kolegům děkuji za kvalitnější doplnění.

Jorica · 10. 04. 2015 20:27

Děkuji za pozdrav, je to milé, že si mě někdo po letech pamatuje ;-)

Jsem tu s vysvětlením. Není z mé hlavy, tak se omlouvám, pokud ho nějak zkomolím. Ale pokud by se někdo z pedagogů dostal do úzkých, jak studentům tento rozpor vysvětlit, tak snad mu pomůže. Já sama jsem se setkala s takovým zádrhelem poprvé. Holt jindy jsem příklad spočítala jinak, vyšlo to podle výsledků ve sbírce a bylo to :-D

Tak vysvětlení je toto...ve středoškolských výpočtech se používá sinová věta "chybně" ...spíš nepřesně. Sinová věta má podobu rovnosti mezi třemi zlomky a ty musí být splněny pro každý trojúhelník. Ve výpočtech se však využívá jen rovnost mezi dvěma zlomky. A v tom je skryto nebezpečí ;-)

Uvedený trojúhelník s parametry $a\doteq 4,1 cm, b = 6 cm, c = 8 cm, \alpha = 30^\circ, \beta \doteq 73^\circ 4 , \gamma \doteq 76^\circ 56$ sinové větě v té úplné podobě nevyhovuje. Takový trojúhelník proto neexistuje.
Hodnoty uvedených podílů jsou pro zmíněný trojúhelník následující:

$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{4,1}{\sin 30^\circ}\doteq 8,2$
$\frac{b}{\sin \beta}=\frac{6}{\sin 73^\circ 4}\doteq 6,3$
$\frac{c}{\sin \gamma}=\frac{8}{\sin 76^\circ 56}\doteq 8,2$

vanok · 10. 04. 2015 20:34

Ahoj,
Mozes povedat aky je rozdiel medzi jednoznacnou konstrukciou ( povedzme euklodivsku) a trojuholnikom vdaka vypoctom, alors to naznacujes v situaciach ktore si popisala.

Jorica · 10. 04. 2015 20:45

Nevím, zda přesně vím, jaké vysvětlení se po mě žádá.

Možná jsem se zde špatně vyjádřila ;-) Já jsem holt ten počítací a ne rýsovací typ :-D

Ten příklad jsem zde uvedla proto, že jsem byla zvyklá, že co vychází rýsováním je ve shodě s výpočtem. Ve škole se spíš objevoval opačný problém. Student vypočítá jedno řešení, protože na druhé zapomene a ejhle, rýsováním lze ukázat, že řešení jsou dvě. A najednou jsem narazila na opačný problém. Věděla jsem, že podle věty sss je trojúhelník dán jednoznačně, já výpočtem stanovila dvě řešení a žádným obvyklým způsobem jsem nedokázala jedno řešení vyloučit. Chtěla jsem proto, aby mi někdo vysvětlil, kde jsem se dopustila chyby.

vanok · 11. 04. 2015 15:50 — Editoval vanok (11. 04. 2015 16:05)

↑ Jorica:,
Myslis ze toto http://en.m.wikipedia.org/wiki/Solution_of_triangles popisuje tvoju problematiku?

Eratosthenes · 07. 05. 2015 12:25

ahoj ↑ Jorica:,

přiznám se, že Tvému problému nerozumím. Máš jednoznačně zadaný trojúhelník, zvoleným postupem dostaneš řešení dvě. V tom případě přeci musíš obě řešení zkonfrontovat se zadáním a právě na tomto základě jedno z nich vyloučit. To je standardní postup, říká se mu zkouška. Všechno ostatní zavání alchymií.

Řeš rovnici x+3=5 s jediným kořenem tak, že ji nejdřív umocníš na druhou. Z této kvadratické rovnice vypadnou kořeny dva a Ty se tomu budeš divit: Proč dva - vždyť původní rovnice má jenom jeden! Takže který škrtnout? Proč zrovna mínus osmičku - dosazení do původní rovnice přece není nejobvyklejší postup vyloučení nevyhovujícího řešení...

Matematické Fórum

#1 09. 04. 2015 09:40 — Editoval Jorica (09. 04. 2015 09:43)

Jednoznačně zadaný trojúhelník

#2 09. 04. 2015 10:22

Re: Jednoznačně zadaný trojúhelník

#3 09. 04. 2015 11:38

Re: Jednoznačně zadaný trojúhelník

#4 10. 04. 2015 20:27

Re: Jednoznačně zadaný trojúhelník

#5 10. 04. 2015 20:34

Re: Jednoznačně zadaný trojúhelník

#6 10. 04. 2015 20:45

Re: Jednoznačně zadaný trojúhelník

#7 11. 04. 2015 15:50 — Editoval vanok (11. 04. 2015 16:05)

Re: Jednoznačně zadaný trojúhelník

#8 07. 05. 2015 12:25

Re: Jednoznačně zadaný trojúhelník

Zápatí