Matematické Fórum

Crashatorr · 11. 04. 2015 13:28

Zdravím, měl bych prosbu jestli by mi někdo pomohl s ímto příkladem, jsem schopný akorát určit to zobrazení

Nechť $(G,o)=\{z\in \mathbb{C},|z|=1\}$ , o je násobení komplexních čísel a je to grupa. Ukažte, že grupa $(\mathbb{R}^{+}, \cdot )\times(G,o)$ je izomorfní s grupou $(\mathbb{C}^{*},\cdot )$ $(\mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}-\{0\} )$

Našel jsem akorát zobrazení
$f: (c,a+\text i{b})->(ca+\text i{bc})$

A nevím jak dokázat bijekci ani že se ejdná o homomorfismus

vanok · 11. 04. 2015 13:54

Ahoj ↑ Crashatorr:,
Navod, motivacia
tvoj izomorfismus v beznom jazyku znamena, ze kazde nenulove komplexne cisko sa sa da napisat vo forme $r(\cos ( \theta) +i \sin ( \theta) )$
... zname trigonometricke vzorce ti pomozu v dokaze tvojho izomorfizmu.

kafe_arabica · 11. 04. 2015 16:51

Ahoj.

Možno iný pohľad na vec. Poriadne si zapísať, čo chcem.
Mám tam grupu $(\mathbb{R}^{+}, \cdot )\times(G,o)$ , ako v nej vyzerá bin. op.?
Nejak takto: $(a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)$ . Potom si rozmyslím, že ide o komutatívnu b.o.
Tip na izomorfizmus už máme: $f:(\mathbb{R}^{+}, \cdot )\times(G,o)\to(\mathbb{C}^{*},\cdot )$ , $(a,b)\mapsto ab$ . Zrejme to je dobre definované zobrazenie. A teraz si rozpíš, čo to znamená, že f by malo byť homomorfizmom:
$f((a,b)\cdot(c,d))=f((ac,bd))= ...$
$f((a,b))f((c,d))=...$
Už stačí overiť len surjektívnosť a injektívnosť (Ker f = (1,1)).

Matematické Fórum

#1 11. 04. 2015 13:28

Dokaž izomorfismus

#2 11. 04. 2015 13:54

Re: Dokaž izomorfismus

#3 11. 04. 2015 16:51

Re: Dokaž izomorfismus

Zápatí