Matematické Fórum

gogol · 03. 05. 2009 23:32

zdar,
mam tu neco malo prikladu, ktere by se mi hodilo vyresit.

1)
Necht nahodna velicina X~Rs(0;2*Pi). Najdete hustotu transformovane nahodne veliciny Y=cos(X).

2)
Necht nahodna velicina X~Rs(-Pi;Pi). Najdete hustotu transformovane nahodne veliciny Y=sin(X).

3)
Necht spojita nahodna velicina X ma rostouci distribucni funkci F(x). Dokazte, ze transformovana nahodna velicina Y=F(X) ma rovnomerne spojite rozlozeni Rs(0;1).

4)
Necht nahodna velicina X~Rs(0;1) a necht F(x) je rostouci spojita distribucni funkce. Dokazte, ze transformovana nahodna velicina Y=F^-1(X) ma distribucni funkci F.

Diky

Kondr · 04. 05. 2009 00:46

Tož....
1) abychom mohli hledat hustotu, potřebujeme distribuční funkci F(y)=P(cos(x)<=y). Zřejmě F(y)=0 pro y<=-1 (cos je menší roven -1 pouze pro x=pi, a to nastane s nulovou pravděpodobností) a F(y)=1 pro y>1 (cos není nikdy větší než 1.
Pro -1<y<=1 je cos(x)<=y pokud je $arccos(y)\leq x\leq 2\pi - arccos(y)$ , tedy pro x z intervalu $\langle arccos(y),2\pi - arccos(y)\rangle$ . Pravděpodobnost, že x bude z tohoto intervalu je integrál z hustoty x přes tento interval. Protože má x rovnoměrné rozložení s hustotou $\frac{1}{2\pi}$ , je pro tato y $F(y)=\frac{1}{2\pi}(2\pi- 2arccos(y))=1-\frac{arccos(y)}{pi}$ . Hustotu získáme derivací distribuční funkce. Vyjde tedy 0 pro y<=-1 a pro y>1, pro -1<y<=1 vyjde $f(y)=\frac{1}{\pi\sqrt{1-x^2}}$

2) analogicky

3) distribuční funkce proměnné Y bude G(y)=P(F(x)<=y). F(X) roste od 0 do 1, proto G(y) je 0 pro y<=0 a G(Y)=1 pro y>=1.
Pro 0<y<1 platí, že G(y)=P(F(x)<=y)=P(x<=F^(-1)(y))=F(F^(-1)(y))=y (druhou rovnost máme z toho, že je F rostoucí, třetí proto, že F je distribuční funkce). To je ale distribuční funkce rovnoměrného rozložení.

4) distribuční funkce G(y)=P(F^(-1)(x)<=y)=P(x<=F(y))=P(x<=0)+P(0<x<=F(y))=0+P(0<x<=F(y))=0+F(y)=F(y) -- opět si stačí pohrát s definicí distribuční funkce. Možná by to šlo i jednodušeji, ale zkusím se vymluvit na denní (noční) dobu :)

gogol · 04. 05. 2009 11:53

Kondr napsal(a):
1) abychom mohli hledat hustotu, potřebujeme distribuční funkci F(y)=P(cos(x)<=y). Zřejmě F(y)=0 pro y<=-1 (cos je menší roven -1 pouze pro x=pi, a to nastane s nulovou pravděpodobností) a F(y)=1 pro y>1 (cos není nikdy větší než 1.
Pro -1<y<=1 je cos(x)<=y pokud je $arccos(y)\leq x\leq 2\pi - arccos(y)$ , tedy pro x z intervalu $\langle arccos(y),2\pi - arccos(y)\rangle$ .

ad 1) nejak uplne nechapu to urceni mezi pomoci F(Y)

ad 2) no a tady diky mej neschopnosti urcit meze nejsem schopen integrovat :(

Matematické Fórum

#1 03. 05. 2009 23:32

transformovane nahodne veliciny

#2 04. 05. 2009 00:46

Re: transformovane nahodne veliciny

#3 04. 05. 2009 11:53

Re: transformovane nahodne veliciny

Kondr napsal(a):

Zápatí