Matematické Fórum

Movil · 04. 05. 2009 05:13

Zdravím přátelé. Poprosil bych vás o pomoc s timto zadáním.
Spojením středů stran čtverce vznikne opět čtverec. Spojením středů stran druhého čtverce vznikne čtverec atd.. Určete součet obvodů všech čtverců vzniklých tímto způsobem.

Cheop · 04. 05. 2009 07:21

↑ Movil:
Není jasné, jestli má být součet obvodů počítán i s původním čtvercem nebo ne.
1) včetně původního čtverce:
Označme stranu původního čtverce - a
potom další čtverec bude mí stranu dlouhou:
$2\left(\frac a2\right)^2=a_2^2\nla_2=\frac{a\cdot\sqrt 2}{2}$
Kvocient geometrické řady je:
$q=\frac{a\cdot\sqrt 2}{2}\cdot\frac 1a\nlq=\frac{\sqrt 2}{2}$
Potom součet obvodů bude:
$S_n=\frac{4a}{1-\frac{\sqrt 2}{2}}\nlS_n=\frac{8a}{2-\sqrt 2}\nlS_n=4a(2+\sqrt 2)$
2) Pokud se má počítat jen součet obvodů nově vzniklých čtverců pak součet bude:
$S_n=\frac{4a\sqrt 2}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{\sqrt 2}{2}}\nlS_n=\frac{4a\cdot\sqrt 2}{2-\sqrt 2}\nlS_n=4a(\sqrt 2+1)$

Matematické Fórum

#1 04. 05. 2009 05:13

Geometrická posloupnost

#2 04. 05. 2009 07:21

Re: Geometrická posloupnost

Zápatí