Matematické Fórum

BarboraC · 16. 04. 2015 18:57

Dobrý den mám problém, dostala jsem příklad:
Urči kolik různých přirozených čtyřciferných čísel je možné sestavit z číslic 1, 2, 3, 4 a 5 (každou číslici můžeme použít pouze jednou).

Kolik z nich je dělitelných třemi?

Mohl by mě prosíím někdo pomoct? předem děkuji ;-)

Al1 · 16. 04. 2015 19:04

↑ BarboraC:

Stačí užít pravidlo součinu

Obsazuješ postupně každé ze čtyř míst čtyřciferného čísla Číslice se neopakují.

První místo obsadíš jednou číslicí z množiny $\{1;2;3;4; 5\}$ . Máš 5 možností. Vybereš třeba jedničku.
Druhé místo obsadíš jednou z číslic z množiny $\{2;3;4; 5\}$ , jedničku už jsi vybrala, máš 4 možnosti.
Třetí místo obsadíš už jen některou ze 3 číslic, další už jen ze dvou.

Celkový počet je tedy $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2$

Podle vzorce děláš $V_{4}(5)$ , vybíráš čtveřici z pěti prvků bez opakování prvků.

BarboraC · 16. 04. 2015 19:10

jo super moc děkuji a jak by asi vypadal vzorec Vx(y) kdyby bylo stejné zadání akorát dělitelné 6? už mám čísla vše napsaný jen ten vzorec nevím jak se tvoří :-/

Al1 · 16. 04. 2015 19:11 — Editoval Al1 (16. 04. 2015 19:11)

↑ BarboraC:

Jdi na to nejprve logickou úvahou: číslo je dělitelné šesti, právě když je dělitelné dvěma a třemi.

BarboraC · 16. 04. 2015 19:16

no mám
prví budou 4 možnosti
Druhý 3 možnosti
třetí 2 možnosti
A čtvrtý také 2 možnosti

A když to vše vynásobím tak to dá 48

Al1 · 16. 04. 2015 19:25 — Editoval Al1 (17. 04. 2015 08:18)

↑ BarboraC:

Na konci čísla musí být 2 nebo 4 - pak bude číslo dělitelné dvěma.

Když dáš na konec 2, pak hledáš ze zbylých číslic taková, aby jejich součet byl dělitelný třemi - to budou čísla dělitelná třemi.

Můžeš použít jen 1, 4, 5 - děláš permutace ze tří prvků $V_{3}(3)=P(3)$ . Máš šest čísel končících na 2.
Tu samou úvahu udělej pro zakončení číslicí 4.

A na závěr se použije součet, neboť si řekneš, že hledáš čísla končící na 2 nebo 4. Jak řekneš nebo, sčítáš.

BarboraC · 16. 04. 2015 19:52

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/06725_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

BarboraC · 16. 04. 2015 19:55

permutaci ještě neumíme :-/

Al1 · 16. 04. 2015 20:07

↑ BarboraC:

To, co jsi předložila je výpočet počtu všech sudých čísel vytvořených z číslic 1, 2, 3, 4, 5.

Když ale sečteš tebou zakroužkované číslice, vyjde ti ciferný součet 1+3+4+2=10. Takové číslo tedy není dělitelné třemi a ani šesti.

Takže zkusíme čísla dělitelná šesti vypsat
1542, 1452, 5142, 5412, 4152,4512 všechna sudá a ciferný součet 12 - jsou dělitelná šesti.
Stejně vytvoř čísla končící na 4.

{2}
x x x x
3. 2 . 1. 1 první tři místa obsazuješ číslicemi z množiny {1, 4, 5}

{4}
x x x x
3. 2 . 1. 1 první tři místa obsazuješ číslicemi z množiny {1, 2, 5}

BarboraC · 16. 04. 2015 20:50

tak jsem z toho jelen :-D

zdenek1 · 16. 04. 2015 22:13

↑ BarboraC:
je to strašně jednoduché.
v požadovaných číslech dělitelných třemi nemůže být cifra 3. Představ si, že sestavíš pěticiferné číslo. To bude mít ciferný součet 15. Když nyní budeš chtít jednu cifru odstranit, tak jediná možnost, jak dosáhnou ciferného součtu dělitelného třemi, je vyhodit právě tu trojku.

Takže sestavuješ čtyřciferná čísla ze čtyř cifer, tj. $V_4(4)$ možností.

u čísel dělitelných šesti musí být na konci dvojka, nebo čtyřka (trojka ve výběru zase nesmí být), takže $3\cdot2\cdot1\cdot2$ možností.

Matematické Fórum

#1 16. 04. 2015 18:57

Variace

#2 16. 04. 2015 19:04

Re: Variace

#3 16. 04. 2015 19:10

Re: Variace

#4 16. 04. 2015 19:11 — Editoval Al1 (16. 04. 2015 19:11)

Re: Variace

#5 16. 04. 2015 19:16

Re: Variace

#6 16. 04. 2015 19:25 — Editoval Al1 (17. 04. 2015 08:18)

Re: Variace

#7 16. 04. 2015 19:52

Re: Variace

#8 16. 04. 2015 19:55

Re: Variace

#9 16. 04. 2015 20:07

Re: Variace

#10 16. 04. 2015 20:50

Re: Variace

#11 16. 04. 2015 22:13

Re: Variace

Zápatí