Matematické Fórum

symetrala

Dobrý den, chtěl bych se zeptat, jestli řeším tuto ulohu spravne?

funkce f bude = (Pí*d^2*v)/4 , tedy (pí*x^2*y)/4 = budu derivovat podle x -> = (pí*x*y)/2, podle y-> (pí*x^2)/4...
funkce g= 2*pí*r*(r+v)=5 -> 2*pí*x/2*(x/2+y) -> derivac epodle x =(pí*y + pí*x) , derivace podle y= pí*x.....

(pí*x*y)/2 + lambda*(pí*y + pí*x)=0 ---> y= -2*lambda*x/(2*lambda+x)
(pí*x^2)/4 + lambda* pí*x=0
2*pí*x/2*(x/2+y)=10
----------------------------------------
dělm to dobře, nebo tam už je nekde chyba, popřípade jak dál? Děkuji.

Rumburak · 17. 04. 2015 14:00

↑ symetrala:

Ahoj.

Myslím, že úlohu komplikuješ zaváděním zbytečných proměnných. Řešíme-li úlohu o válci, je přirozené pracovat
s proměnnými $r$ (poloměrem podstavy) a $v$ (výškou), jimiž jsou metrické vlastnosti válce jednoznačmě určeny.

Objem válce pak bude $V(r, v) = \pi r^2 v$ , povrch $S(r, v) = 2\pi r^2 + 2\pi rv$ (tento tvar vzorce bude pro
drërivování výhodnější).

Hledáme tedy maximum funkce $V(r, v)$ při vazební podmínce $S(r, v) = 10$ . Samozřejmě pro $r > 0 , v > 0$ .

Poznámka.
Úlohu lze řešit i bez LM : Z rovnice $S(r, v) = 10$ vyjádříme $v = v(r)$ a to dosadíme do vzorce pro objem -
- hledáme pak maximum funkce $W(r) = \pi r^2 v(r)$ jedné proměnné.

l

symetrala

↑ Rumburak:
Já to potřebuji řešit, tak jak jsem uvedl v zadání, tedy přes LM.

Rumburak · 17. 04. 2015 15:00

↑ symetrala:

Nemá ta vazební podmínka mít tvar 2*pí*x/2*(x/2+y)= 10 ? Jinak mi to připadá dobře (tento verdikt je ale potřeba
brát s reservou, protože zapis touto formou se nekontroluje právě snadno).

symetrala · 17. 04. 2015 15:02

↑ Rumburak:
ANo má, překlep opraven. A jak mám pokračovat dále, dosadit vyjadrene y do druhe rovnice? Nebo existuje lepší řešení?

Rumburak · 17. 04. 2015 15:14

↑ symetrala:

Metoda LM nám dala soustavu tří rovnic o třech neznámých. Jak ji řešit nejvýhodněji, na to se příjde, když se to
zkusí. Já bych začal od druhé rovnice (pí*x^2)/4 + lambda* pí*x=0 . Zajímá nás pouze ten její kořen x, který je
nenulový - proto můžeme rovnici vydělit neznámou x a pak snadno určit její druhý kořen x = x(lambda) a ten
dosadit do zbývajících dvou rovnic. Atd.

Matematické Fórum

#1 17. 04. 2015 12:28 — Editoval symetrala (17. 04. 2015 18:40)

lagrangeuv multiplikator

#2 17. 04. 2015 14:00

Re: lagrangeuv multiplikator

#3 17. 04. 2015 14:29 — Editoval symetrala (17. 04. 2015 18:40)

Re: lagrangeuv multiplikator

#4 17. 04. 2015 15:00

Re: lagrangeuv multiplikator

#5 17. 04. 2015 15:02

Re: lagrangeuv multiplikator

#6 17. 04. 2015 15:14

Re: lagrangeuv multiplikator

Zápatí