Matematické Fórum

vanok · 18. 04. 2015 16:14

Pozravujem,
Nech $z_1, z_2$ su dve komplexne cisla, a $P$ polynom z komplexnimi koeficientami taky, ze $P(X)=(X-z_1)(X-z_2)$ .
Urcite $z_1, z_2$ tak aby $P(X)|P(X^3)$ .
Upresnite vsetki take polynomy.

byk7 · 19. 04. 2015 02:14

Platí $P(x)\mid Q(x)\ \Leftrightarrow\ (\forall c,P(c)=0):Q(c)=0$ . Má tedy platit (pro jednoduchost označme $a=z_1, b=z_2$ ) $P$a^3$=P$b^3$=0$ .

Dostáváme tak soustavu

jež je symetrická a proto dvojice $(a,b)$ povede ke stejnému polynomu jako $(b,a)$ , a kterou upravíme do tvaru

Při pohledu na první tři činitele obou rovnic je jasné, že každá uspořádaná dvojice $(a,b)\in\{-1,0,1\}\times\{-1,0,1\}$ vyhoví. S ohledem na symetrii stačí uvažovat pouze dvojice $(a,b)\in\{(0,0),(0,\pm1),(1,1),(-1,-1)\}$ .

U další "podsoustavy"

dostáváme krom známých dvojic ještě $(a,b)\in\{$1,-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$,$-1,\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$\}$ .

Nakonec se zbývá podívat na podsoustavu
$a^3=b,b^3=a$ , která po úpravě vede na binomickou rovnici $a^8=1$ s kořeny tvaru $a=\text{Cis}$\frac{1}{4}k\pi$,k\in\{0,1,\ldots,7\}\Rightarrow b=\text{Cis}$\frac{3}{4}k\pi$=\text{Cis}$-\frac{1}{4}k\pi$$ a s ohledem na známé dvojice a symetrii stačí uvažovat pouze $k\in\{1,2,3\}$ .

Všechny vyhovující polynomy jsou tedy tvaru $P(x)=(x-a)(x-b)$ , kde
$(a,b)\in\{(0,0),(0,\pm1),(1,-1),(\pm1,\pm1),(\text{i},-\text{i}),$1,-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$,$-1,\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$,$\pm\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\text{i},\pm\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{i}$\}$
(bereme znaménka pouze na stejné úrovni, tj. např. $(\pm1,\pm1)$ odpovídá pouze dvojicím $(1,1),(-1,-1)$ .)

Úloze vyhoví právě 13 různých polynomů.

vanok · 19. 04. 2015 10:12

Ahoj ↑ byk7:,
Rychlo a dobre si to zvladol.
Co sa tyka poslednej otazky, ( ktora je sucast cvicenia) doporucujem pisat polynomy ( ktore su algebricke objekty) z $\mathbb{C}[X]$ vo forme ako napr. tu $P(X)=X(X-1)$ . Pisat X a nie x nam umoznuje tiez okamzite rozlisovat polynom P, a polynomialnu asociovanu funkciu $P: \mathbb{C}[X] \rightarrow \mathbb{C}[X]:x\mapsto P(x)$ .

Matematické Fórum

#1 18. 04. 2015 16:14

Delitelnost polynomov

#2 19. 04. 2015 02:14

Re: Delitelnost polynomov

#3 19. 04. 2015 10:12

Re: Delitelnost polynomov

Zápatí