Matematické Fórum

xstudentíkx

Ahoj,

mám problém porozumět následujícím příkladu s odčítáním nul. Prosila bych někoho o vysvětlení.

Zadání: Urči počet všech čtyřciferných přirozených čísel dělitelných devíti v jejichž zápisu se
vyskytují pouze číslice 0, 2, 3, 5, 6.

Nyní zvolím třeba číslo: 6+3+0+0 (jenž je dělitelné devíti). Sestavím výpočet: $\frac{4!}{2!}$ a nyní mám problém s tím jak se budou vylučovat možnosti, když je nula na začátku. V řešení je uvedeno: $\frac{2*3!}{2}$ čemuž příliš nerozumím. Pokud si nuly na začátku rozepíši tak to samozřejmě zjistím, toto řešení je však docela neefektivní.

Pak si také dokáži uvědomit, že když tam ty nuly jsou dvě a mám 4 číslice, tak výsledek po odečtení bude poloviční (Pokud by byla 1 nula ze 4 číslic, tak odečtu 1/4).Což je pro mě o dost logičtější řešení, akorát nevím zda ho uplatním všude.

Předem děkuji

Rumburak

↑ xstudentíkx:
Ahoj.
Platí věta

Přirozené číslo je dělitelné devíti právě tehdy, když jeho ciferný součet (v desítkové soustavě) je dělitelný devíti.

Pomocí ní se řešení usnadní. Ihned dostaneme možnosti, jak vybrat čtveřice cifer, např. (6,3, 0, 0), (2,2,5,0) (a ještě něco).
Na to "pustíme" kombinatoriku a spočteme:

Kolik čtyřciferných přírozených čísel se dá (pomocí permutací) sestavit z usp. čtveřice (6, 3, 0, 0) ?

Atd.

Tak třeba pokud jde o čtveřici (6, 3, 0, 0):
Čtyřciferné číslo nesmí začínat nulou. První cifra (počet tisíců) tedy může být buďto 6 (kolik možností tento případ dává ?)
nebo 3 (kolik možností dostáváme nyní ?)

Podobným způsobem dále.

xstudentíkx · 24. 04. 2015 15:02

Ahoj ↑ Rumburak:

S touto větou samozřejmě pracuji a příklad jsem už dořešila. Nicméně nechápu řešení uvedené ve výsledku s odčítáním, když se nula nachází na začátku. Svým řešení odčítáním těch nul jsem všechny kombinace vyřešila, nicméně mi docela vadí, že nechápu ten jejich způsob odčítání.

Rumburak

$$$$ $$$$ ↑ xstudentíkx:

Počet "čtyřmístných" permumutací z (6, 3, 0, 0), v nichž 0 se vyskytuje dvakrát a ostatní cifry právě jednou, je $\frac{4!}{2!}$ .
Od toho musíme odečíst počet případů, kdy je nula (je jedno, která z těch dvou) na začátku. Těchto nevyhovujících
případů je $3!$ (všechny permutace bez opakování z čísel (6, 3, 0) vyskytujících se na dalších posicích).

Pomocí cifer (6, 3, 0, 0) tedy sestrojíme $\frac{4!}{2!}-3! = 12-6 = 6$ hledaných čísel.

Konkretně jsou to čísla 6300, 6030, 6003, 3600, 3060, 3006 .

Jakou úvahou došli k výsledku $\frac{2*3!}{2}$ , to také netuším.

EDIT: Už tuším:

a) první cifrou (řádu tisíců) je 3 , tedy $3!$ možností, když ovšem budeme dvě nuly brát jako dva různé prvky,

b) první cifrou je 6 , tedy opět $3!$ možností jako prve (za stejných podmínek).

To máme celkem $2\cdot 3!$ možností. Teprve nyní ztotožníme obě nuly a dostaneme tím $\frac{2*3!}{2}$ .

misaH · 24. 04. 2015 15:42

:-)

Prvá nula 3!, druhá nula 3!. Dostávaš ale rovnaké výsledky, takže deleno 2.

xstudentíkx · 24. 04. 2015 16:21

Jo takto, mno teď už v tom vidím i tu logiku :) Ale i tak budu používat jiný postup.

Moc vám děkuji.

Matematické Fórum

#1 24. 04. 2015 14:22 — Editoval xstudentíkx (24. 04. 2015 14:23)

Permutace s opakováním

#2 24. 04. 2015 14:52 — Editoval Rumburak (24. 04. 2015 15:09)

Re: Permutace s opakováním

#3 24. 04. 2015 15:02

Re: Permutace s opakováním

#4 24. 04. 2015 15:27 — Editoval Rumburak (24. 04. 2015 15:44)

Re: Permutace s opakováním

#5 24. 04. 2015 15:42

Re: Permutace s opakováním

#6 24. 04. 2015 16:21

Re: Permutace s opakováním

Zápatí