Matematické Fórum

Lukexr · 28. 04. 2015 12:40 — Editoval Lukexr (28. 04. 2015 12:41)

Ahoj, chtěl bych poprosit o radu s řešením zadaného úkolu, asi k tomu nepřistupuji správně. Děkuji.
Zadání:
Dokažte, že operátor $A = -\frac{d^2}{dx^2}$ nemá na $V = \{f: \langle -1, 1 \rangle \to \mathbb{R}: f \text{ je spojitá na } \langle -1, 1 \rangle, \text{ dvakrát diferencovatelná na } (0,1), f(-1) = f(0) = 0\}$ nekladná vlastní čísla.
"Řešení":
Musí tedy platit $A(f) = \lambda f$ , kde $f$ je funkce z $V$ a $\lambda$ vlastní čísla. Dostanu tedy ODR $-f'' - \lambda f = 0, f(-1) = f(0) = 0$ . Obecné řešení rovnice je $c_1cos(\sqrt{\lambda} x) + c_2sin(\sqrt{\lambda} x)$ z té vyplývá že $\lambda$ musí být větší než 0 (ale co 0?). Samostatné řešení ODE je pak $f(x) = 0$ , což mi asi moc nepomůže.

Formol · 28. 04. 2015 15:45

↑ Lukexr:
Ahoj,
první nápad: V prostoru V může být funkce f(x)=0 nulový vektor. Pro volbu nulové hodnoty lambda dostaneš jako vlastní vektor nulový vektor; ten ale, pokud se nemýlím, nemůže být vlastní vektor. (K funkcionální analýze jsem se ještě neprokousal, třeba je ta úvaha zcestná...)

Lukexr · 28. 04. 2015 17:58

↑ Formol:
To bude asi ono, díky :)

Sergejevicz · 19. 07. 2015 12:21

Jo. Vlastní vektor je totiž vektor nenulový.

lenibebi · 30. 05. 2017 14:11

Ahoj, řeším ten samý příklad. Jen tam máme ještě ověřit jestli je operátor hermitovský. To mi vyšlo, že ano, ale nějak nechápu jak se příjde na tu ODR. Pravděpodobně mi uniká něco strašně jednoduchýho :D

Formol · 12. 06. 2017 13:29

↑ lenibebi:
Ahoj,
je to význam toho operátoru A. Protože A je záporně vzatá druhá derivace, je Af záporně vzatá druhá derivace f. Tedy rovnice pro určení vlastního vektoru:

je po rozepsání operátoru:

A tedy máš ODE:

Matematické Fórum

#1 28. 04. 2015 12:40 — Editoval Lukexr (28. 04. 2015 12:41)

Vlastní čísla diferenciálního operátoru

#2 28. 04. 2015 15:45

Re: Vlastní čísla diferenciálního operátoru

#3 28. 04. 2015 17:58

Re: Vlastní čísla diferenciálního operátoru

#4 19. 07. 2015 12:21

Re: Vlastní čísla diferenciálního operátoru

#5 30. 05. 2017 14:11

Re: Vlastní čísla diferenciálního operátoru

#6 12. 06. 2017 13:29

Re: Vlastní čísla diferenciálního operátoru

Zápatí