Matematické Fórum

lednička · 05. 05. 2009 15:47

Ahojky, nevím si rady s touto limitou:
${\lim}\limits_{x \to \0} \frac{1-cos^ 3 x }{x.sin2x}$ .
Rozkládám to podle vzorců, ale nic se mi tam nechce vykrátit:-( Výsledek má být 3/4.

ttopi · 05. 05. 2009 16:44 — Editoval ttopi (05. 05. 2009 16:45)

Je třeba si hlavně uvědomit, že neplechu dělá to x ve jmenovateli a samozřejmě sin také ve jmenovateli, takže toho je třeba se zbavit a to jsem využil v mém postupu.

${\lim}\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos^3(x)}{x\cdot\sin(2x)}={\lim}\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos^3(x)}{x\cdot2\sin(x)\cos(x)}\cdot\frac{\sin(x)}{\sin(x)}=\nl={\lim}\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos^3(x)}{2\sin^2(x)\cos(x)}={\lim}\limits_{x \to 0}\frac{1}{2}\cdot\frac{1-\cos^3(x)}{(1-\cos^2(x))\cos(x)}=\nl={\lim}\limits_{x \to 0}\frac{1}{2}\cdot\frac{(1-\cos(x))(1+\cos(x)+\cos^2(x))}{(1-\cos(x))(1+\cos(x))\cos(x)}={\lim}\limits_{x \to 0}\frac{1}{2}\cdot\frac{(1+\cos(x)+\cos^2(x))}{(1+\cos(x))\cdot\cos(x)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$

To roznásobení zlomek $\frac{\sin(x)}{\sin(x)}$ jsem udělal proto, abych se zbavil ve jmenovateli toho $x$ jelikož využiju vztahu, že ${\lim}\limits_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$

Pak už jsem jen vytkl 1/2 a upravoval a nakonec ten čičatel rozložil podle vzorce, že $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

EDIT: Možná to jde i jednodušeji, možná přes L´Hospitala, ale snažil jsem se vyhnout se nutnosti ho použít.

Matematické Fórum

#1 05. 05. 2009 15:47

Limita

#2 05. 05. 2009 16:44 — Editoval ttopi (05. 05. 2009 16:45)

Re: Limita

Zápatí