Matematické Fórum

KubaP · 08. 05. 2015 18:10 — Editoval KubaP (08. 05. 2015 18:11)

Ahoj, jak by jste vyřešili toto? Já už dneska nějak nemůžu, nemyslí mi to :(

Pomocí stran a,b,c trojúhelníku ABC určete obvod o´ trojúhelníku A´B´C, kde A´B´ || AB je příčka v trojúhelníku ABC procházející středem S kružnice do trojúhelníku ABC vepsané

Je mi jasné, že mají oba trojúhelníky stejné úhly, ale stejně mi to nedochází :(

holyduke

Edit:blbost:

↑ KubaP:
z podobnosti trojúhelníku vyplývá vztah pro stranu c $\frac{\frac{2}{3}v}{|A'B'|}=\frac{v}{|AB|}$

Obdobně zbylé strany.

KubaP · 08. 05. 2015 22:07

holyduke: díky, ale moc mi to nepomohlo :(
Ty zbylé strany přece nemají společné těžnice...

Eratosthenes · 08. 05. 2015 22:31

↑ holyduke:

a proč 2/3 ??

KubaP · 08. 05. 2015 22:46 — Editoval KubaP (08. 05. 2015 22:48)

2/3 je část těžnice na stranu c blíž k vrcholu C ;-) Je to těžnice trojúhelníku A´B´C

zdenek1 · 08. 05. 2015 22:59

↑ KubaP:
V obecném trojúhelníku nikoli.

KubaP · 08. 05. 2015 23:03

zdenek1: jak to myslíš? Já mám za to, že to pro obecný platí, ale možná se mýlim...

zdenek1 · 08. 05. 2015 23:13

↑ KubaP:
Vyjádřil jsem se asi nepřesně.
2/3 těžnice v ABC není obecně těžnice v A´B´C.

A mimochodem, kdyby tomu tak bylo, znal by jsi koeficient podobnosti a tím pádem by jsi znal i hledaný obvod a nebylo by co řešit.
Smůla.

byk7 · 08. 05. 2015 23:19 — Editoval byk7 (08. 05. 2015 23:37)

Označme $I$ střed kružnice vepsané. Platí
$|\sphericalangle CA'I|=|\sphericalangle CAB|=\alpha\Rightarrow|\sphericalangle AA'I|=180^\circ-\alpha$
$|\sphericalangle A'AI|=\frac\alpha2\Rightarrow|\sphericalangle AIA'|=180^\circ-|\sphericalangle AA'I|-|\sphericalangle A'AI|=\frac\alpha2$
takže trojúhelník $AIA'$ je rovnoramenný (se základnou $AI$ ) a proto platí $|A'I|=|AA'|$
úplně stejně se ukáže, že $BIB'$ je rovnoramenný se základnou $BI$ , a proto $|B'I|=|BB'|$
odtud už
$|A'B'|+|A'C|+|B'C|=|A'I|+|A'C|+|B'I|+|B'C|= \\ =|AA'|+|A'C|+|BB'|+|B'C|=|AC|+|BC|=a+b$

nebo jinak:
Trojúhelníky jsou podobné s koeficientem $\tfrac{v_c-r}{v_c}$ kde $v_c$ je výška na stranu $AB$ a $r$ je poloměr kružnice vepsané.
Platí $r(a+b+c)=cv_c$ , odtud $\tfrac{r}{v_c}=\tfrac{c}{a+b+c}$ a pak
$o_{A'B'C}=\frac{v_c-r}{v_c}\cdot(a+b+c)=$1-\frac{r}{v_c}$(a+b+c)=$1-\frac{c}{a+b+c}$(a+b+c)=a+b$

vanok · 08. 05. 2015 23:27

Pozdravujem,
Poznamka:
Na jedno riesenie daneho cvicenia staci pouzit Heronov vzorec, vyjadrenie obsahu trojuholnika vdaka 1/2*(a+b+c)*r, kde r je polomer vpisanej kruznice. Ako aj vyjadreniz obsahu trojuholnika vdaka 1/2*c*v_c.
To umozni vyjadrit r, v_c ako funkcie a,b,c a konecne aj koeficient podobnosti studovanych trojuholnikov.

holyduke · 08. 05. 2015 23:42

Aha, to je tak, kdyz si myslim ,ze vepsana kruznice ma stred v tezisti :)
Omluva kolegovi ↑ KubaP: a diky ostatnim za napravu :)

vanok · 09. 05. 2015 02:30

Ahoj ↑ holyduke:,
Tvoje vahanie moze dat radu zaujimavych cviceni.
Ako napr. Vyjadrite vzdialenost stredov vpisanej a opisanej kruznice v danom trojuholniku... Atd...

byk7 · 09. 05. 2015 10:58

↑ vanok:
Na téma těžiště-incentrum byla teď úloha v CKMO (úloha 5).
http://skmo.sk/dokument.php?id=1366

vanok · 09. 05. 2015 11:32 — Editoval vanok (09. 05. 2015 11:40)

↑ vanok:,
Otazka co som napisal vysssie, je vlastne http://en.m.wikipedia.org/wiki/Euler%27 … n_geometry

KubaP · 10. 05. 2015 15:44 — Editoval KubaP (10. 05. 2015 15:55)

byk7: Díky moc za obě řešení :) Děkuji i ostatním :)

Ale zajímalo by mě, jestli existuje nějaké tvrzení, podle kterého bych se měl zaměřit právě na trojúhelníky A´AI a B´BI nebo jestli to je jen otázka zkušenosti?

EDIT:
Ještě bych se rád vrátil k tomu, co napsal zdenek1... Proč těžnice na stranu c není obecně 2/3 těžnice na stranu A´B´ pokud jsou díky stejnolehlosti obě těžnice podobné?

Pak bych měl koeficient k = (2/3)*t_c/t_c = 2/3
A obvod o´ = k*(a+b+c) = (2/3)*(a+b+c)
Proč je to špatně? Díky za odpověď :) Je to kvůli tomu, že musí koeficient podobnosti platit pro všechni těžnice a né jen pro jednu?

vanok · 10. 05. 2015 17:17

↑ KubaP:,
To preto, ze podobnost zavisi na polomere vpisanej kruznice.
Inac ako je definovana taznica ?

KubaP · 10. 05. 2015 18:08 — Editoval KubaP (10. 05. 2015 18:10)

vanok: Mohl by jsi to prosím rozvést? Proč podobnost závisí zrovna na poloměru vepsané kružnice?
Jinak těžnice je spojnice vrcholu a středu protější strany a jediný případ, kdy je těžnice shodná s osou úhlu je v rovnostranném trojúhelníku.. Ale v tomto příkladu je strana A´B´ stejnolehlá se stranou AB pomocí středu stejnolehlosti v bodě C, takže spojnice C a středu AB je těžnice t_c trojúhelníku ABC a 2/3 té těžnice tvoří těžnici t_c´trojúhelníku A´B´C
Asi to budu potřebovat vysvětlit polopaticky, protože mi to stále nedochází :-D

EDIT: už mi to došlo :D střed A´B´ by musel být těžištěm a to není :-D

vanok · 10. 05. 2015 18:20

↑ KubaP:,
Chces skor povedat ze cez stred A'B' ako aj cez sted AB prechadza taznica oboch trojuholnikov.

Inac vzdialenost rovnobeznej priecky zo stranov AB co prechadza cez stred vpisanej kruznice polomeru r, je presne r.

V danom cviceni tazkozt bola len v tom, ze bolo treba vyjadrit r ako funkciu a,b,c (dlzky stran trojuholnika)

KubaP · 10. 05. 2015 19:20 — Editoval KubaP (10. 05. 2015 19:27)

Ano, nedošlo mi, že ty úseky těžnice jsou platné od těžiště :)

To jsem pochopil :) Ale neplatí přece vždy, že podobnost trojúhelníků bude záviset na poloměru vepsané kružnice..
Proto mě zajímalo, co mě má vést k tomu, hledat zrovna trojúhelníky AA´I a BB´I, zřejmě zkušenost :)
Když člověk ví, jaký bude výsledek, je jednodušší ho dokázat :) Taky to v tomto případě může dělat fakt, že se mu nejsnáze určují jeho vnitřní úhly..

Výpočetní důkaz je zřejmě samozřejmější :) Stačí si uvědomit, že jde o podobnost a určit obvod pomocí podobnostního koeficientu a pak už jen pomocí známých vzorců co nejvíce zjednodušit výsledek :)

byk7 · 10. 05. 2015 19:39

↑ KubaP:

Neboj, ja to prvně "vypočítal", až pak to udělal geometricky, když jse viděl výsledek. Ale dal jsem prvně to "geometričtější" řešení, protože mi přijde hezčí a jednodušší (nepotřebuješ nic víc, než dopočítat pár úhlů).

KubaP · 10. 05. 2015 19:56

Ano je hezčí :) jen je těžší si ho uvědomit :) děkuju

Matematické Fórum

#1 08. 05. 2015 18:10 — Editoval KubaP (08. 05. 2015 18:11)

Obvod trojúhelníku

#2 08. 05. 2015 21:07 — Editoval holyduke (08. 05. 2015 23:42)

Re: Obvod trojúhelníku

#3 08. 05. 2015 22:07

Re: Obvod trojúhelníku

#4 08. 05. 2015 22:31

Re: Obvod trojúhelníku

#5 08. 05. 2015 22:46 — Editoval KubaP (08. 05. 2015 22:48)

Re: Obvod trojúhelníku

#6 08. 05. 2015 22:59

Re: Obvod trojúhelníku

#7 08. 05. 2015 23:03

Re: Obvod trojúhelníku

#8 08. 05. 2015 23:13

Re: Obvod trojúhelníku

#9 08. 05. 2015 23:19 — Editoval byk7 (08. 05. 2015 23:37)

Re: Obvod trojúhelníku

#10 08. 05. 2015 23:27

Re: Obvod trojúhelníku

#11 08. 05. 2015 23:42

Re: Obvod trojúhelníku

#12 09. 05. 2015 02:30

Re: Obvod trojúhelníku

#13 09. 05. 2015 10:58

Re: Obvod trojúhelníku

#14 09. 05. 2015 11:32 — Editoval vanok (09. 05. 2015 11:40)

Re: Obvod trojúhelníku

#15 10. 05. 2015 15:44 — Editoval KubaP (10. 05. 2015 15:55)

Re: Obvod trojúhelníku

#16 10. 05. 2015 17:17

Re: Obvod trojúhelníku

#17 10. 05. 2015 18:08 — Editoval KubaP (10. 05. 2015 18:10)

Re: Obvod trojúhelníku

#18 10. 05. 2015 18:20

Re: Obvod trojúhelníku

#19 10. 05. 2015 19:20 — Editoval KubaP (10. 05. 2015 19:27)

Re: Obvod trojúhelníku

#20 10. 05. 2015 19:39

Re: Obvod trojúhelníku

#21 10. 05. 2015 19:56

Re: Obvod trojúhelníku

Zápatí