Matematické Fórum

green19 · 14. 05. 2015 02:15

Ahoj, nevedel by mi niekto prosim poradit priklad takej riemannovsky integrovatelnej funkcie f, ze ak mame uzavrety interval [a,b], na nom ohranicenu funkciu f a plati ze $\frac{d}{dt}\int_{a}^{b}f(x,t)dx=\int_{a}^{b}\frac{\partial }{\partial t}f(x,t)dx$ , ale f(x,t) alebo $\frac{\partial }{\partial t}f(x,t)$ nie je spojita? Vdaka.

kafe_arabica

Ahoj.

$f(x,t)=1, (x,t)\in[a,b)\times I$
$f(x,t)=0, (x,t)\in\{b\}\times I$ , kde I je množina, na ktorej f(.,t) definovaná ( $\mathbb{R}$ , alebo tak ...)

f je nespojitá, riemannovsky integrovateľná a spĺňa tamtú rovnosť.

green19 · 16. 05. 2015 15:24

A priklad funkcie s rovnakymi vlastnostami ale lebegeouvsky integrovatelnej?

kafe_arabica

Ak je funckia riemannovsky integrovateľná, tak je aj lebesgueovsky. Teda príklad je rovnaký.
Pre spresnenie, hovoríme o ohraničených funkciách na uz. intervale [a,b].

green19 · 16. 05. 2015 22:52

Myslim priklad funkcie ktora je lebesgueovsky ale nie je riemannovsky integrovaelna.

Rumburak · 18. 05. 2015 10:35

↑ green19:

Ahoj.

Když Riemanovsky itegrovatelnou funkci (na uzavřeném intervalu) upravíš tak, aby množina jejích bodů nespojitosti (v proměnné,
přes kterou se integruje) měla kladnou (tedy nenulovou) Lebesguegovu míru, dostaneš funkci, která Riemannovsky integrovatelná
nebude. Zůstane-li takto upravená funkce omezená a bude-li i měřitelná, potom určitě bude mít Lebesgueův integrál.

Příklad: Když funkci $f(x) := 0$ upravíme na Dirichletovu funkci.

Matematické Fórum

#1 14. 05. 2015 02:15

Spojitost a diferecovatelnost parametr. integralu

#2 15. 05. 2015 11:25 — Editoval kafe_arabica (15. 05. 2015 11:26)

Re: Spojitost a diferecovatelnost parametr. integralu

#3 16. 05. 2015 15:24

Re: Spojitost a diferecovatelnost parametr. integralu

#4 16. 05. 2015 15:37 — Editoval kafe_arabica (16. 05. 2015 15:39)

Re: Spojitost a diferecovatelnost parametr. integralu

#5 16. 05. 2015 22:52

Re: Spojitost a diferecovatelnost parametr. integralu

#6 18. 05. 2015 10:35

Re: Spojitost a diferecovatelnost parametr. integralu

Zápatí