Matematické Fórum

xstudentíkx

Ahojky,

potřebovala bych poradit jak převést rekurentně zadaný vzorec na vzorec pro n-tý člen.

zadání vypadá následovně:

$a_{n+1}=a_{n}-a_{n-1}$

$a_{1}=1$ $a_{2}=2$ . Posloupnost vypadá následovně: $1,2,1,-1,-2,-1,1,2,1,-1,-2,-1,...$ .

Nejspíš se nejedná vyloženě o SŠ úlohu, velice by mě však zajímal postup, kromě toho to nějak "uhodnout". Pokud by byl tedy někdo ochotný mi s tím pomoci, tak to velice ocením....

Jinak dle WA je výsledek tento.

Případně poslat materiál(y) kde najdu potřebné informace k řešení...

Edit:

Dříve mi tu s podobným zadáním už pár lidí radilo, zkusila jsem jeden z postupů využít a došla jsem sem:

$a^{n+1}=a^{n}-a^{n-1}$
$a^{2}=a^{}-1$
z toho: $a^{2}-a+1=0$ ta však nemá v $\mathbb{R}$ řešení, použiji tedy obor $\mathbb{C}$ . Dostanu

$\frac{1\mp i\sqrt{4-1}}{2}$

$\frac{1\mp i\sqrt{3}}{2}$

z toho mám:

$\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$

První výraz by se dal převést na goniometrický tvar komplex. čísla, což bych dostala toto: $\cos \frac{1}{3}\pi +i\sin \frac{1}{3}\pi$ , ten druhý by se dal také nějak upravit a k něčemu bych došla, bohužel však nevím zda jdu na to správně a není to je zbytečná práce.

gadgetka · 14. 05. 2015 18:10

Ahoj,
$a_{n+1}=a_{n}-a_{n-1}\Rightarrow a_n=a_{n+1}+a_{n-1}$ ;)

xstudentíkx · 14. 05. 2015 18:19

Ahoj ↑ gadgetka:

Nějak nepobírám jak mi to má pomoci, potřebuji vzorec pro n-tý člen.

gadgetka · 14. 05. 2015 18:31

Vyjádřila jsem "entý" člen... ;)

xstudentíkx · 14. 05. 2015 18:33

↑ gadgetka:

:D Ve své podstatě ano, já chci však převést rekurentně zadaný vzorec na vzorec pro n-tý člen a to toto není.

vanok · 14. 05. 2015 18:51 — Editoval vanok (14. 05. 2015 19:05)

Poznamka:
V tomto pripade, z danymi hodnotamy ide o periodicku postupnost periody 6.( cize je lahko dat odpoved na danu otazku)
Vysetri co to da aj vo vseobecnom pripade.

xstudentíkx · 14. 05. 2015 18:59

↑ vanok:

Jak myslíte ve všeobecném případě? Mám řešit $a^{n+1}-a^{n}+1=0$ ?

vanok · 14. 05. 2015 19:13

↑ xstudentíkx:,
Vsak nie, postupne dosadit
$a_3=a_2-a_1$
$a_4=a_3-a_2=a_2-a_1-a_2=-a_1$ ...
Atd ( a uvidis ze sa vratis k povodnej situacii....bude to cyklus.....)

xstudentíkx

↑ vanok:

Ano, pořád se to točí, to je mi zřejmé, ale jak určím předpis té periody. Nevím jak se dostat k výsledku jenž mi dal WA, napadlo mě jedině to co uvádím v první příspěvku...

vanok · 14. 05. 2015 19:41 — Editoval vanok (14. 05. 2015 19:57)

Na WA taketo presne vysledky nenajdes.
Najlepsia dpoved je: ide o cyclicku postupnost.
Z danymi pociatocnimi clenmy dostaneme periodicku postupnost cyklu:
$1=a_1=a_7=...=a_{6i+1}$
$2=a_2=a_8=...=a_{6i+2}$

$-1=a_6=a_{12}=...=a_{6i+6}$
kde i je cele kladne cislo.
A takto podrobne vsetko popises a ukoncis tvoju odpoved.

Co som ti navrhol potom, je naviac, to preto aby si videla ako to vseobecne funguje. ( cize pre lubovolne pociatocne podmienky)

jarrro · 15. 05. 2015 10:41

↑ xstudentíkx:
áno to je dobrý začiatok všeobecný tvar potom je
$a_n=C_1$\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$^n+C_2$\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$^n$
teda $a_n=C_1$\cos{\(\frac{n\pi}{3}$}+\mathrm{i}\sin{$\frac{n\pi}{3}$}\)+C_2$\cos{\(\frac{n\pi}{3}$}-\mathrm{i}\sin{$\frac{n\pi}{3}$}\)=\nl = D_1\cos{$\frac{n\pi}{3}$}+\mathrm{i}D_2\sin{$\frac{n\pi}{3}$}$
ak je niečo riešením lineárnej diferenčnej rovnice tak aj reálna aj imaginárna časť sú jej riešením teda
reálnym všeobecným riešením je
$D_1\cos{$\frac{n\pi}{3}$}+D_2\sin{$\frac{n\pi}{3}$}$
a navyše musí platiť
$\frac{D_1}{2}+\frac{D_2\sqrt{3}}{2}=a_1\nl -\frac{D_1}{2}+\frac{D_2\sqrt{3}}{2}=a_2$
čiže
$D_2=\frac{a_1+a_2}{\sqrt{3}}\nl D_1=a_1-a_2$
čiže
$a_n=$a_1-a_2$\cos{$\frac{n\pi}{3}$}+\frac{$a_1+a_2$\sin{$\frac{n\pi}{3}$}}{\sqrt{3}}$

xstudentíkx · 15. 05. 2015 18:10

↑ jarrro:

Moc děkuji, toto jsem hledala, zajímalo mě jak to bude dále a teď už to vím. Skvělý postup, stejně jako minulý ;)

vanok · 15. 05. 2015 20:02 — Editoval vanok (15. 05. 2015 20:07)

Ahoj ↑ jarrro:,
Pochopitelne, ze mozes vyjadrit riesenie ako v kazdej linearnej diferencnej rovnice.( No to je uz skor vysokoskolska metoda)
No vsak ci je zaujimave na tomto cviceni, ze ide o periodicku postupnost... Co sa vysetrenim prvych clenov postupnosti rychlo vidi.
No vsak, vo vyraze, co davas, ( aj nepoznas ten vysledok o periodicite) to sa tak lahko nevidi.
Inac na periodicke ( cyklicke) postupnosti mozno aj od stredoskolaka sa niekedy caka vyraz vdaka modulo dlzka periody)
Pekny vecer.

Matematické Fórum

#1 14. 05. 2015 18:04 — Editoval xstudentíkx (14. 05. 2015 19:16)

Vzorec pro n-tý člen

#2 14. 05. 2015 18:10

Re: Vzorec pro n-tý člen

#3 14. 05. 2015 18:19

Re: Vzorec pro n-tý člen

#4 14. 05. 2015 18:31

Re: Vzorec pro n-tý člen

#5 14. 05. 2015 18:33

Re: Vzorec pro n-tý člen

#6 14. 05. 2015 18:51 — Editoval vanok (14. 05. 2015 19:05)

Re: Vzorec pro n-tý člen

#7 14. 05. 2015 18:59

Re: Vzorec pro n-tý člen

#8 14. 05. 2015 19:13

Re: Vzorec pro n-tý člen

#9 14. 05. 2015 19:20 — Editoval xstudentíkx (14. 05. 2015 19:21)

Re: Vzorec pro n-tý člen

#10 14. 05. 2015 19:41 — Editoval vanok (14. 05. 2015 19:57)

Re: Vzorec pro n-tý člen

#11 15. 05. 2015 10:41

Re: Vzorec pro n-tý člen

#12 15. 05. 2015 18:10

Re: Vzorec pro n-tý člen

#13 15. 05. 2015 20:02 — Editoval vanok (15. 05. 2015 20:07)

Re: Vzorec pro n-tý člen

Zápatí